En matemáticas , la desigualdad de Loomis-Whitney es un resultado en geometría , que en su forma más simple, permite estimar el "tamaño" de un- dimensional establecido por los tamaños de su-proyecciones dimensionales. La desigualdad tiene aplicaciones en la geometría de incidencia , el estudio de los llamados "animales de celosía" y otras áreas.
El resultado lleva el nombre de los matemáticos estadounidenses Lynn Harold Loomis y Hassler Whitney , y se publicó en 1949.
Declaración de la desigualdad
Fijar una dimensión y considera las proyecciones
Para cada 1 ≤ j ≤ d , sea
Entonces la desigualdad de Loomis-Whitney se cumple:
Equivalentemente, tomando
Un caso especial
La desigualdad de Loomis-Whitney se puede utilizar para relacionar la medida de Lebesgue de un subconjunto del espacio euclidiano a sus "anchos medios" en las direcciones de coordenadas. Sea E un subconjunto medible de y deja
ser la función indicadora de la proyección de E sobre el hiperplano de coordenadas j- ésimo. De ello se deduce que para cualquier punto x en E ,
Por lo tanto, por la desigualdad de Loomis-Whitney,
y por lo tanto
La cantidad
se puede considerar como el ancho promedio de en el ª dirección de coordenadas. Esta interpretación de la desigualdad de Loomis-Whitney también es válida si consideramos un subconjunto finito del espacio euclidiano y reemplazamos la medida de Lebesgue por la medida de conteo .
Generalizaciones
La desigualdad de Loomis-Whitney es un caso especial de la desigualdad de Brascamp-Lieb , en el que las proyecciones π j anteriores se reemplazan por mapas lineales más generales , no necesariamente todos los mapas en espacios de la misma dimensión.