En análisis convexo , un no negativo función f : R n → R + es logarítmicamente cóncava (o -cóncava log para abreviar) si su dominio es un conjunto convexo , y si satisface la desigualdad
para todo x , y ∈ dom f y 0 < θ <1 . Si f es estrictamente positivo, esto equivale a decir que el logaritmo de la función, log ∘ f , es cóncavo ; es decir,
para todo x , y ∈ dom f y 0 < θ <1 .
Ejemplos de funciones log-cóncavas son las funciones indicadoras 0-1 de conjuntos convexos (que requiere una definición más flexible) y la función gaussiana .
De manera similar, una función es logarítmica-convexa si satisface la desigualdad inversa
para todo x , y ∈ dom f y 0 < θ <1 .
Propiedades
- Una función log-cóncava también es cuasi-cóncava . Esto se deriva del hecho de que el logaritmo es monótono, lo que implica que los conjuntos de supernivel de esta función son convexos. [1]
- Cada función cóncava que no es negativa en su dominio es logarítmica-cóncava. Sin embargo, lo contrario no es necesariamente válido. Un ejemplo es la función gaussiana f ( x ) = exp (-x 2 /2) que es log-cóncava desde registro de f ( x ) = - x 2 /2 es una función cóncava de x . Pero f no es cóncava ya que la segunda derivada es positiva para | x | > 1:
- Desde arriba de dos puntos, concavidad log-concavidad cuasiconcavidad .
- Una función no negativa, dos veces diferenciable con un dominio convexo es log-cóncava si y solo si para todo x que satisfaga f ( x )> 0 ,
- , [1]
- es decir
- es
- semi-definido negativo . Para funciones de una variable, esta condición se simplifica a
Operaciones que preservan la concavidad logarítmica
- Productos: El producto de las funciones log-cóncavas también es log-cóncavo. De hecho, si f y g son funciones log-cóncavas, entonces log f y log g son cóncavas por definición. Por lo tanto
- es cóncava y, por tanto, también f g es logarítmica-cóncava.
- Marginales : si f ( x , y ) : R n + m → R es log-cóncavo, entonces
- es log-cóncavo (ver desigualdad de Prékopa-Leindler ).
- Esto implica que la convolución conserva la concavidad logarítmica, ya que h ( x , y ) = f ( x - y ) g ( y ) es cóncava logarítmica si f y g son cóncavas logarítmicas, y por lo tanto
- es logarítmico-cóncavo.
Distribuciones log-cóncavas
Las distribuciones log-cóncavas son necesarias para varios algoritmos, por ejemplo, muestreo de rechazo adaptativo . Cada distribución con una densidad de log-cóncava es una distribución de probabilidad máxima entropía con media especificada μ y riesgo Desviación medida D . [2] Da la casualidad de que muchas distribuciones de probabilidad comunes son log-cóncavas. Algunos ejemplos: [3]
- La distribución normal y distribuciones normales multivariadas .
- La distribución exponencial .
- La distribución uniforme sobre cualquier conjunto convexo .
- La distribución logística .
- La distribución de valor extremo .
- La distribución de Laplace .
- La distribución de chi .
- La distribución secante hiperbólica .
- La distribución de Wishart , donde n > = p + 1. [4]
- La distribución de Dirichlet , donde todos los parámetros son> = 1. [4]
- La distribución gamma si el parámetro de forma es> = 1.
- La distribución de chi-cuadrado si el número de grados de libertad es> = 2.
- La distribución beta si ambos parámetros de forma son> = 1.
- La distribución de Weibull si el parámetro de forma es> = 1.
Tenga en cuenta que todas las restricciones de los parámetros tienen la misma fuente básica: el exponente de la cantidad no negativa debe ser no negativo para que la función sea log-cóncava.
Las siguientes distribuciones son cóncavas no logarítmicas para todos los parámetros:
- La distribución t de Student .
- La distribución de Cauchy .
- La distribución de Pareto .
- La distribución logarítmica normal .
- El F-distribución .
Tenga en cuenta que la función de distribución acumulativa (CDF) de todas las distribuciones log-cóncavas también es log-cóncava. Sin embargo, algunas distribuciones no log-cóncavas también tienen CDF log-cóncavas:
- La distribución logarítmica normal .
- La distribución de Pareto .
- La distribución de Weibull cuando el parámetro de forma <1.
- La distribución gamma cuando el parámetro de forma <1.
Las siguientes son algunas de las propiedades de las distribuciones log-cóncavas:
- Si una densidad es log-cóncava, también lo es su función de distribución acumulativa (CDF).
- Si una densidad multivariante es log-cóncava, también lo es la densidad marginal sobre cualquier subconjunto de variables.
- La suma de dos variables aleatorias log-cóncavas independientes es log-cóncava. Esto se sigue del hecho de que la convolución de dos funciones log-cóncavas es log-cóncava.
- El producto de dos funciones log-cóncavas es log-cóncavo. Esto significa que las densidades conjuntas formadas al multiplicar dos densidades de probabilidad (por ejemplo, la distribución gamma normal , que siempre tiene un parámetro de forma> = 1) serán log-cóncavas. Esta propiedad se utiliza mucho en programas de muestreo Gibbs de propósito general como BUGS y JAGS , que por lo tanto pueden utilizar el muestreo de rechazo adaptativo en una amplia variedad de distribuciones condicionales derivadas del producto de otras distribuciones.
- Si una densidad es log-cóncava, también lo es su función de supervivencia [5] .
- Si una densidad es logarítmica-cóncava, tiene una tasa de riesgo monótona (MHR) y es una distribución regular ya que la derivada del logaritmo de la función de supervivencia es la tasa de riesgo negativa, y por concavidad es monótona, es decir
- que es decreciente ya que es la derivada de una función cóncava.
Ver también
- secuencia logarítmicamente cóncava
- medida logarítmicamente cóncava
- función logarítmicamente convexa
- función convexa
Notas
- ^ a b Boyd, Stephen ; Vandenberghe, Lieven (2004). "Funciones log-cóncavas y log-convexas" . Optimización convexa . Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 104-108. ISBN 0-521-83378-7.
- ^ Grechuk, B .; Molyboha, A .; Zabarankin, M. (2009). "Principio de máxima entropía con medidas de desviación general". Matemáticas de la investigación operativa . 34 (2): 445–467. doi : 10.1287 / moor.1090.0377 .
- ^ Ver Bagnoli, Mark; Bergstrom, Ted (2005). "Probabilidad log-cóncava y sus aplicaciones" (PDF) . Teoría económica . 26 (2): 445–469. doi : 10.1007 / s00199-004-0514-4 .
- ^ a b Prékopa, András (1971). "Medidas cóncavas logarítmicas con aplicación a programación estocástica". Acta Scientiarum Mathematicarum . 32 : 301–316.
- ^ Ver Bagnoli, Mark; Bergstrom, Ted (2005). "Probabilidad log-cóncava y sus aplicaciones" (PDF) . Teoría económica . 26 (2): 445–469. doi : 10.1007 / s00199-004-0514-4 .
Referencias
- Barndorff-Nielsen, Ole (1978). Información y familias exponenciales en teoría estadística . Serie de Wiley en Probabilidad y Estadística Matemática. Chichester: John Wiley \ & Sons, Ltd. págs. Ix + 238 págs. ISBN 0-471-99545-2. Señor 0489333 .
- Dharmadhikari, Sudhakar; Joag-Dev, Kumar (1988). Unimodalidad, convexidad y aplicaciones . Probabilidad y estadística matemática. Boston, MA: Academic Press, Inc. págs. Xiv + 278. ISBN 0-12-214690-5. Señor 0954608 .
- Pfanzagl, Johann; con la ayuda de R. Hamböker (1994). Teoría estadística paramétrica . Walter de Gruyter. ISBN 3-11-013863-8. Señor 1291393 .
- Pečarić, Josip E .; Proschan, Frank; Tong, YL (1992). Funciones convexas, ordenamientos parciales y aplicaciones estadísticas . Matemáticas en Ciencias e Ingeniería. 187 . Boston, MA: Academic Press, Inc. págs. Xiv + 467 págs. ISBN 0-12-549250-2. Señor 1162312 .