El teorema de Brauer sobre caracteres inducidos , a menudo conocido como teorema de inducción de Brauer , y llamado así por Richard Brauer , es un resultado básico en la rama de las matemáticas conocida como teoría de caracteres , dentro de la teoría de representación de un grupo finito .
Fondo
Un precursor del teorema de inducción de Brauer fue el teorema de inducción de Artin , que establece que | G | veces el carácter trivial de G es una combinación entera de caracteres que son cada uno inducido a partir de caracteres triviales de subgrupos cíclicos del teorema de G. Brauer elimina el factor | G |, pero a expensas de ampliar la colección de subgrupos utilizados. Algunos años después de la aparición de la demostración del teorema de Brauer, JA Green demostró (en 1955) que tal teorema de inducción (con combinaciones enteras de caracteres inducidas a partir de caracteres lineales) podía demostrarse con una colección de subgrupos más pequeños que los subgrupos elementales de Brauer.
Otro resultado entre el teorema de inducción de Artin y el teorema de inducción de Brauer, también debido a Brauer y también conocido como teorema de Brauer o lema de Brauer es el hecho de que la representación regular de G se puede escribir como donde el son racionales positivos y elson inducidos a partir de los caracteres de los subgrupos cíclicos de G . Tenga en cuenta que en el teorema de Artin los caracteres se inducen a partir del carácter trivial del grupo cíclico, mientras que aquí se inducen a partir de caracteres arbitrarios (en las aplicaciones de las funciones L de Artin es importante que los grupos sean cíclicos y, por lo tanto, todos los caracteres son lineales, lo que da lugar a que el las funciones L correspondientes son analíticas). [1]
Declaración
Sea G un grupo finito y deje que Char ( G ) denote el subanillo del anillo de funciones de clase de valor complejo de G que consta de combinaciones enteras de caracteres irreducibles . Char ( G ) se conoce como el anillo de caracteres de G , y sus elementos se conocen como caracteres virtuales (alternativamente, como caracteres generalizados o, a veces , como caracteres de diferencia ). Es un anillo en virtud del hecho de que el producto de los caracteres de G es de nuevo un carácter de G. Su multiplicación está dada por el producto de las funciones de clase por elementos.
El teorema de inducción de Brauer muestra que el anillo de caracteres puede ser generado (como un grupo abeliano ) por caracteres inducidos de la forma, Donde H se extiende sobre los subgrupos de G y rangos lambda sobre caracteres lineales (que tiene grado 1) de H .
De hecho, Brauer demostró que los subgrupos H podían elegirse de una colección muy restringida, ahora denominada subgrupos elementales de Brauer . Estos son productos directos de grupos cíclicos y grupos cuyo orden es una potencia de un primo.
Pruebas
La prueba del teorema de inducción de Brauer explota la estructura de anillo de Char ( G ) (la mayoría de las pruebas también utilizan un anillo un poco más grande, Char * (G), que consta de-combinaciones de caracteres irreducibles, donde ω es un complejo primitivo | G | -ésima raíz de la unidad). El conjunto de combinaciones de caracteres enteros inducidos a partir de caracteres lineales de los subgrupos elementales de Brauer es un I ( G ) ideal de Char ( G ), por lo que la prueba se reduce a mostrar que el carácter trivial está en I ( G ). Varias demostraciones del teorema, comenzando con una demostración debida a Brauer y John Tate , muestran que el carácter trivial está en el ideal I * ( G ) de Char * ( G ) definido de manera análoga al concentrar la atención en un primo p a la vez, y la construcción de elementos de valor entero de I * ( G ) que difieren (en cuanto a elementos) del carácter trivial en (múltiplos enteros de) una potencia suficientemente alta de p. Una vez que esto se logra para cada divisor principal de | G |, algunas manipulaciones con congruencias y enteros algebraicos , explotando nuevamente el hecho de que I * ( G ) es un ideal de Ch * ( G ), colocan el carácter trivial en I ( G ). Un resultado auxiliar aquí es que unfunción de clase valorada se encuentra en el ideal I * ( G ) si sus valores son todos divisibles (en) por | G |.
El teorema de inducción de Brauer se demostró en 1946 y ahora existen muchas pruebas alternativas. En 1986, Victor Snaith dio una demostración mediante un enfoque radicalmente diferente, de naturaleza topológica (una aplicación del teorema del punto fijo de Lefschetz ). Ha habido trabajos recientes relacionados sobre la cuestión de encontrar formas naturales y explícitas del teorema de Brauer, en particular por Robert Boltje .
Aplicaciones
Usando la reciprocidad de Frobenius , el teorema de inducción de Brauer conduce fácilmente a su caracterización fundamental de los caracteres , que afirma que una función de clase de valor complejo de G es un carácter virtual si y solo si su restricción a cada subgrupo elemental de Brauer de G es un carácter virtual. Este resultado, junto con el hecho de que un carácter virtual θ es un carácter irreducible si y solo si θ (1) > 0 y (dónde es el producto interno habitual en el anillo de funciones de clase de valor complejo ) proporciona un medio para construir caracteres irreducibles sin construir explícitamente las representaciones asociadas.
Una motivación inicial para el teorema de inducción de Brauer fue la aplicación a las funciones L de Artin . Muestra que se construyen a partir de funciones L de Dirichlet , o funciones L de Hecke más generales . Altamente significativo para esa aplicación es si cada carácter de G es una combinación de caracteres enteros no negativos inducidos a partir de caracteres lineales de subgrupos. En general, este no es el caso. De hecho, según un teorema de Taketa, si todos los caracteres de G son expresables, entonces G debe ser un grupo con solución (aunque la capacidad de solución por sí sola no garantiza tales expresiones, por ejemplo, el grupo con solución SL (2,3) tiene un grupo irreducible carácter complejo de grado 2 que no se puede expresar como una combinación de caracteres enteros no negativos inducidos a partir de caracteres lineales de subgrupos). Un ingrediente de la demostración del teorema de inducción de Brauer es que cuando G es un grupo finito nilpotente , todo carácter complejo irreducible de G se induce a partir de un carácter lineal de algún subgrupo.
Referencias
- Isaacs, IM (1994) [1976]. Teoría de caracteres de grupos finitos . Dover. ISBN 0-486-68014-2. Zbl 0849.20004 . Reimpresión corregida del original de 1976, publicado por Academic Press. Zbl 0337.20005
Otras lecturas
- Snaith, vicepresidente (1994). Inducción explícita de Brauer: con aplicaciones al álgebra y la teoría de números . Estudios de Cambridge en Matemáticas Avanzadas. 40 . Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 0-521-46015-8. Zbl 0991.20005 .
Notas
- ^ Serge Lang, Teoría algebraica de números , apéndice del capítulo XVI