En matemáticas , especialmente en los campos de la teoría de grupos y teoría de la representación de los grupos , una función de clase es una función en un grupo G que es constante en las clases de conjugación de G . En otras palabras, es invariante bajo el mapa de la conjugación de G . Tales funciones juegan un papel básico en la teoría de la representación .
Caracteres
El carácter de una representación lineal de G sobre un campo K es siempre una función de clase con valores en K . Las funciones de clase forman el centro del anillo de grupo K [ G ]. Aquí una función de clase f se identifica con el elemento.
Productos internos
El conjunto de funciones de clase de un grupo G con valores en un campo K forman un K - espacio vectorial . Si G es finito y la característica del campo no divide el orden de G , entonces hay un producto interno definido en este espacio definido pordonde | G | denota el orden de G . El conjunto de caracteres irreductibles de G forma una base ortogonal , y si K es un campo de división para G , por ejemplo, si K es algebraicamente cerrado , entonces los caracteres irreducibles forman una base ortonormal .
En el caso de un grupo compacto y K = C el campo de números complejos , la noción de medida de Haar permite reemplazar la suma finita anterior con una integral:
Cuando K son los números reales o los números complejos, el producto interno es una forma bilineal hermitiana no degenerada .
Ver también
Referencias
- Jean-Pierre Serre , Representaciones lineales de grupos finitos , Textos de Posgrado en Matemáticas 42 , Springer-Verlag, Berlín, 1977.