En las matemáticas , un Dirichlet L -series es una función de la forma
Aquí es un carácter de Dirichlet y es una variable compleja con parte real mayor que 1. Por continuación analítica , esta función se puede extender a una función meromórfica en todo el plano complejo , y luego se le llama Dirichlet L -función y también denotado L ( s , χ ).
Estas funciones llevan el nombre de Peter Gustav Lejeune Dirichlet, quien las introdujo en ( Dirichlet 1837 ) para demostrar el teorema de los números primos en las progresiones aritméticas que también lleva su nombre. En el curso de la demostración, Dirichlet muestra que L ( s , χ ) es distinto de cero en s = 1. Además, si χ es principal, entonces la función L de Dirichlet correspondiente tiene un polo simple en s = 1.
Producto Euler
Dado que un carácter de Dirichlet χ es completamente multiplicativo , su función L también se puede escribir como un producto de Euler en el semiplano de convergencia absoluta :
donde el producto está sobre todos los números primos . [1]
Personajes primitivos
Los resultados sobre las funciones L a menudo se expresan de manera más simple si se asume que el carácter es primitivo, aunque los resultados típicamente pueden extenderse a caracteres imprimitivos con complicaciones menores. [2] Esto se debe a la relación entre un carácter imprimitivo y el personaje primitivo que lo induce: [3]
(Aquí, q es el módulo de χ .) Una aplicación del producto de Euler da una relación simple entre las funciones L correspondientes : [4] [5]
(Esta fórmula es válida para todos los s , por continuación analítica, aunque el producto de Euler solo es válido cuando Re ( s )> 1.) La fórmula muestra que la función L de χ es igual a la función L del carácter primitivo que induce χ , multiplicado por un número finito de factores. [6]
Como caso especial, la función L del personaje principalmódulo q se puede expresar en términos de la función zeta de Riemann : [7] [8]
Ecuación funcional
Las funciones L de Dirichlet satisfacen una ecuación funcional , que proporciona una manera de continuar analíticamente en todo el plano complejo. La ecuación funcional relaciona el valor de al valor de . Sea χ un carácter primitivo módulo q , donde q > 1. Una forma de expresar la ecuación funcional es: [9]
En esta ecuación, Γ denota la función Gamma ; a es 0 si χ (-1) = 1, o 1 si χ (-1) = -1; y
donde τ ( χ ) es una suma de Gauss :
Es una propiedad de las sumas de Gauss que | τ ( χ ) | = q 1/2 , entonces | ɛ ( χ ) | = 1. [10] [11]
Otra forma de enunciar la ecuación funcional es en términos de
La ecuación funcional se puede expresar como: [9] [11]
La ecuación funcional implica que (y ) son funciones completas de s . (Nuevamente, esto supone que χ es un carácter primitivo módulo q con q > 1. Si q = 1, entoncestiene un polo en s = 1.) [12] [11]
Para generalizaciones, consulte: Ecuación funcional (función L) .
Ceros
Sea χ un carácter primitivo módulo q , con q > 1.
No hay ceros de L ( s , χ ) con Re ( s )> 1. Para Re ( s ) <0, hay ceros en ciertos enteros negativos s :
- Si χ (-1) = 1, los únicos ceros de L ( s , χ ) con Re ( s ) <0 son ceros simples en -2, -4, -6, .... (También hay un cero en s = 0.) Estos corresponden a los polos de. [13]
- Si χ (-1) = -1, entonces los únicos ceros de L ( s , χ ) con Re ( s ) <0 son ceros simples en -1, -3, -5, .... Estos corresponden a los polos de. [13]
Estos se llaman ceros triviales. [9]
Los ceros restantes se encuentran en la franja crítica 0 ≤ Re ( s ) ≤ 1, y se denominan ceros no triviales. Los ceros no triviales son simétricos con respecto a la línea crítica Re ( s ) = 1/2. Es decir, si luego también, debido a la ecuación funcional. Si χ es un carácter real, entonces los ceros no triviales también son simétricos con respecto al eje real, pero no si χ es un carácter complejo. La hipótesis de Riemann generalizada es la conjetura de que todos los ceros no triviales se encuentran en la línea crítica Re ( s ) = 1/2. [9]
Hasta la posible existencia de un cero Siegel , se sabe que existen regiones libres de cero que incluyen y más allá de la línea Re ( s ) = 1 similar a la de la función zeta de Riemann para todas las funciones L de Dirichlet : por ejemplo, para χ a carácter no real del módulo q , tenemos
para β + iγ un cero no real. [14]
Relación con la función zeta de Hurwitz
Las funciones L de Dirichlet pueden escribirse como una combinación lineal de la función zeta de Hurwitz en valores racionales. Al fijar un número entero k ≥ 1, las funciones L de Dirichlet para los caracteres módulo k son combinaciones lineales, con coeficientes constantes, de ζ ( s , q ) donde q = m / k y m = 1, 2, ..., k . Esto significa que la función zeta de Hurwitz para q racional tiene propiedades analíticas que están estrechamente relacionadas con las funciones L de Dirichlet . Específicamente, sea χ un carácter módulo k . Entonces podemos escribir su función L de Dirichlet como
Ver también
Notas
- ^ Apostol 1976 , Teorema 11.7
- ^ Davenport 2000 , capítulo 5
- ^ Davenport 2000 , capítulo 5, ecuación (2)
- ^ Davenport 2000 , capítulo 5, ecuación (3)
- ^ Montgomery y Vaughan , 2006 , p. 282
- ^ Apostol 1976 , p. 262
- ^ Irlanda y Rosen 1990 , capítulo 16, sección 4
- ^ Montgomery y Vaughan , 2006 , p. 121
- ↑ a b c d Montgomery y Vaughan , 2006 , p. 333
- ^ Montgomery y Vaughan , 2006 , p. 332
- ↑ a b c Iwaniec y Kowalski , p. 84
- ^ Montgomery y Vaughan , 2006 , p. 333
- ↑ a b Davenport 2000 , capítulo 9
- ^ Montgomery, Hugh L. (1994). Diez conferencias sobre la interfaz entre la teoría analítica de números y el análisis armónico . Serie de conferencias regionales en matemáticas. 84 . Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense . pag. 163. ISBN 0-8218-0737-4. Zbl 0814.11001 .
Referencias
- Apostol, Tom M. (1976), Introducción a la teoría analítica de números , Textos de pregrado en matemáticas, Nueva York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR 0434929 , Zbl 0.335,10001
- Apostol, TM (2010), "Función L de Dirichlet" , en Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M .; Boisvert, Ronald F .; Clark, Charles W. (eds.), Manual de funciones matemáticas del NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248
- Davenport, H. (2000). Teoría de números multiplicativos (3ª ed.). Saltador. ISBN 0-387-95097-4.
- Dirichlet, PGL (1837). "Beweis des Satzes, dass jede unbegrenzte arithmetische Progression, deren erstes Glied und Differenz ganze Zahlen ohne gemeinschaftlichen Factor sind, unendlich viele Primzahlen emocionante". Abhand. Alaska. Wiss. Berlín . 48 .
- Irlanda, Kenneth; Rosen, Michael (1990). Una introducción clásica a la teoría de números moderna (2ª ed.). Springer-Verlag.
- Montgomery, Hugh L .; Vaughan, Robert C. (2006). Teoría de números multiplicativos. I. Teoría clásica . Tratados de Cambridge en matemáticas avanzadas. 97 . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-84903-6.
- Iwaniec, Henryk ; Kowalski, Emmanuel (2004). Teoría analítica de números . Publicaciones del coloquio de la American Mathematical Society. 53 . Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense.
- "Función L de Dirichlet" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]