Logaritmo común

Funcion matematica

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Una gráfica del logaritmo común de números de 0.1 a 100

En matemáticas , el logaritmo común es el logaritmo con base 10. ^[1] También se conoce como logaritmo decádico y como logaritmo decimal , llamado así por su base, o logaritmo de Briggs , en honor a Henry Briggs , un matemático inglés que fue pionero en su uso. , así como el logaritmo estándar . Históricamente, se conocía como logarithmus decimalis ^[2] o logarithmus decadis . ^[3] Se indica mediante log ( x ) , ^[4] log ₁₀  (x ) , ^[5] o, a veces Log ( x ) con un capital L (sin embargo, esta notación es ambigua, ya que también puede significar la logaritmo natural complejo función de varios valores ). En las calculadoras , se imprime como "log", pero los matemáticos generalmente se refieren al logaritmo natural (logaritmo con base e ≈ 2.71828) en lugar del logaritmo común cuando escriben "log". Para mitigar esta ambigüedad, la especificación ISO 80000 recomienda que log ₁₀  ( x ) se escriba lg ( x ) y log _e ( x ) debe ser ln ( x ) .

Página de una tabla de logaritmos comunes. Esta página muestra los logaritmos para números del 1000 al 1500 con cinco lugares decimales. La tabla completa cubre valores hasta 9999.

Antes de principios de la década de 1970, las calculadoras electrónicas de mano no estaban disponibles, y las calculadoras mecánicas capaces de multiplicar eran voluminosas, caras y no estaban ampliamente disponibles. En su lugar, se utilizaron tablas de logaritmos de base 10 en ciencia, ingeniería y navegación, cuando los cálculos requerían mayor precisión de la que se podría lograr con una regla de cálculo . Al convertir la multiplicación y la división en sumas y restas, el uso de logaritmos evitaba multiplicaciones y divisiones laboriosas y propensas a errores con papel y lápiz. ^[1] Debido a que los logaritmos eran tan útiles, se proporcionaron tablas de logaritmos de base 10 en los apéndices de muchos libros de texto. Los manuales de matemáticas y navegación incluían tablas de los logaritmos defunciones trigonométricas también. ^[6] Para consultar el historial de dichas tablas, consulte la tabla de registro .

Mantisa y característica

Una propiedad importante de los logaritmos en base 10, que los hace tan útiles en los cálculos, es que los logaritmos de números mayores que 1 que difieren en un factor de potencia de 10 tienen todos la misma parte fraccionaria. La parte fraccionaria se conoce como mantisa . ^{[nota 1]} Por lo tanto, las tablas logarítmicas solo necesitan mostrar la parte fraccionaria. Las tablas de logaritmos comunes suelen enumerar la mantisa, con cuatro o cinco lugares decimales o más, de cada número en un rango, por ejemplo, 1000 a 9999.

La parte entera, llamada característica , se puede calcular simplemente contando cuántos lugares se debe mover el punto decimal, de modo que esté justo a la derecha del primer dígito significativo. Por ejemplo, el logaritmo de 120 viene dado por el siguiente cálculo:

${\displaystyle \log _{10}(120)=\log _{10}\left(10^{2}\times 1.2\right)=2+\log _{10}(1.2)\approx 2+0.07918.}$

El último número (0.07918), la parte fraccionaria o la mantisa del logaritmo común de 120, se puede encontrar en la tabla que se muestra a continuación. La ubicación del punto decimal en 120 nos dice que la parte entera del logaritmo común de 120, la característica, es 2.

Logaritmos negativos

Los números positivos menores que 1 tienen logaritmos negativos. Por ejemplo,

${\displaystyle \log _{10}(0.012)=\log _{10}\left(10^{-2}\times 1.2\right)=-2+\log _{10}(1.2)\approx -2+0.07918=-1.92082.}$

Para evitar la necesidad de tablas separadas para convertir los logaritmos positivos y negativos a sus números originales, se puede expresar un logaritmo negativo como una característica de entero negativo más una mantisa positiva. Para facilitar esto , se utiliza una notación especial, llamada notación de barra :

${\displaystyle \log _{10}(0.012)\approx -2+0.07918={\bar {2}}.07918.}$

La barra sobre la característica indica que es negativa, mientras que la mantisa permanece positiva. Al leer un número en notación de barra en voz alta, el símbolo se lee como "barra n ", por lo que se lee como "barra 2 punto 07918…".${\displaystyle {\bar {n}}}$${\displaystyle {\bar {2}}.07918}$

El siguiente ejemplo usa la notación de barra para calcular 0.012 × 0.85 = 0.0102:

${\displaystyle {\begin{array}{rll}{\text{As found above,}}&\log _{10}(0.012)\approx {\bar {2}}.07918\\{\text{Since}}\;\;\log _{10}(0.85)&=\log _{10}\left(10^{-1}\times 8.5\right)=-1+\log _{10}(8.5)&\approx -1+0.92942={\bar {1}}.92942\\\log _{10}(0.012\times 0.85)&=\log _{10}(0.012)+\log _{10}(0.85)&\approx {\bar {2}}.07918+{\bar {1}}.92942\\&=(-2+0.07918)+(-1+0.92942)&=-(2+1)+(0.07918+0.92942)\\&=-3+1.00860&=-2+0.00860\;^{*}\\&\approx \log _{10}\left(10^{-2}\right)+\log _{10}(1.02)&=\log _{10}(0.01\times 1.02)\\&=\log _{10}(0.0102).\end{array}}}$

* Este paso hace que la mantisa esté entre 0 y 1, de modo que se pueda buscar su antilog (10 ^mantisa ).

La siguiente tabla muestra cómo se puede usar la misma mantisa para un rango de números que difieren en potencias de diez:

Logaritmo común, característica y mantisa de potencias de 10 veces un número

Número	Logaritmo	Característica	Mantisa	Forma combinada
n = 5 × 10 i	registro 10 ( n )	i = piso (log 10 ( n ))	log 10 ( n ) - yo
5 000 000	6.698 970 ...	6	0,698 970 ...	6.698 970 ...
50	1.698 970 ...	1	0,698 970 ...	1.698 970 ...
5	0,698 970 ...	0	0,698 970 ...	0,698 970 ...
0,5	−0,301 029 ...	−1	0,698 970 ...	1 .698 970 ...
0,000 005	−5,301 029 ...	−6	0,698 970 ...	6 .698 970 ...

Tenga en cuenta que la mantisa es común a todos los 5  ×  10 ⁱ . Esto es válido para cualquier número real  positivo porque${\displaystyle x}$

${\displaystyle \log _{10}\left(x\times 10^{i}\right)=\log _{10}(x)+\log _{10}\left(10^{i}\right)=\log _{10}(x)+i.}$

Dado que i es una constante, la mantisa proviene de , que es constante para dado . Esto permite que una tabla de logaritmos incluya solo una entrada para cada mantisa. En el ejemplo de 5  ×  10 ⁱ , 0,698 970 (004 336 018 ...) se enumerarán una vez indexados por 5 (o 0,5, o 500, etc.).${\displaystyle \log _{10}(x)}$${\displaystyle x}$

Los números se colocan en escalas de reglas de cálculo a distancias proporcionales a las diferencias entre sus logaritmos. Al sumar mecánicamente la distancia de 1 a 2 en la escala inferior a la distancia de 1 a 3 en la escala superior, se puede determinar rápidamente que 2  ×  3 = 6 .

Historia

Artículo principal: Historia de los logaritmos

Los logaritmos comunes a veces también se denominan "logaritmos de Briggs " en honor a Henry Briggs , un matemático británico del siglo XVII. En 1616 y 1617, Briggs visitó a John Napier en Edimburgo , el inventor de lo que ahora se llaman logaritmos naturales (base- e ), para sugerir un cambio en los logaritmos de Napier. Durante estas conferencias, se acordó la alteración propuesta por Briggs; y después de su regreso de su segunda visita, publicó el primer chiliad de sus logaritmos.

Debido a que los logaritmos de base 10 eran más útiles para los cálculos, los ingenieros generalmente simplemente escribían " log ( x ) " cuando se referían a log ₁₀  ( x ) . Los matemáticos, por otro lado, escribieron " log ( x ) " cuando se referían a log _e  ( x ) para el logaritmo natural. Hoy se encuentran ambas notaciones. Dado que las calculadoras electrónicas de mano están diseñadas por ingenieros en lugar de matemáticos, se convirtió en una costumbre que sigan la notación de los ingenieros. Entonces, la notación, según la cual se escribe " ln ( x )"cuando se utiliza el logaritmo natural, es posible que se haya popularizado aún más por la misma invención que hizo que el uso de" logaritmos comunes "fuera mucho menos común en las calculadoras electrónicas.

Valor numérico

Las claves de logaritmos ( log para base 10 e ln para base- e ) en una calculadora científica típica. El advenimiento de las calculadoras portátiles eliminó en gran medida el uso de logaritmos comunes como ayuda para el cálculo.

El valor numérico del logaritmo en base 10 se puede calcular con la siguiente identidad: ^[5]

${\displaystyle \log _{10}(x)={\frac {\ln(x)}{\ln(10)}}\qquad {\text{ or }}\qquad \log _{10}(x)={\frac {\log _{2}(x)}{\log _{2}(10)}}}$

ya que existen procedimientos para determinar el valor numérico para el logaritmo en base e (ver Logaritmo natural § Cálculo eficiente ) y logaritmo en base 2 (ver Algoritmos para calcular logaritmos binarios ).

Derivado

La derivada de un logaritmo con base b es tal que

${\displaystyle {d \over dx}\log _{b}(x)={1 \over x\ln(b)}}$, entonces . ^[7]${\displaystyle {d \over dx}\log _{10}(x)={1 \over x\ln(10)}}$

Ver también

• Logaritmo binario
• Cologaritmo
• Decibel
• Escala logarítmica
• Mantisa (número de coma flotante)
• Logaritmo napieriano

Notas

1. Este uso de la palabra mantisa proviene de un significado más antiguo, no numérico: una adición o complemento menor, por ejemplo, a un texto. Hoy en día, la palabra mantisa se usa generalmente para describir la parte fraccionaria de unnúmero de punto flotante en las computadoras, aunque el término recomendado es significativo .

Referencias

1. Hall, Arthur Graham; Frink, Fred Goodrich (1909). "Capítulo IV. Logaritmos [23] Logaritmos comunes". Trigonometría . Parte I: Trigonometría plana. Nueva York: Henry Holt and Company . pag. 31.
2. Euler, Leonhard ; Speiser, Andreas ; du Pasquier, Louis Gustave; Brandt, Heinrich ; Trost, Ernst (1945) [1748]. Speiser, Andreas (ed.). Introducción en Analysin Infinitorum (Parte 2) . Opera Omnia, Opera Mathematica . 1 (en latín). 9 . BG Teubner .
3. Scherffer, P. Carolo (1772). Institutionum Analyticarum Pars Secunda de Calculo Infinitesimali Liber Secundus de Calculo Integrali (en latín). 2 . Joannis Thomæ Nob. De Trattnern. pag. 198.
4. "Introducción a los logaritmos" . www.mathsisfun.com . Consultado el 29 de agosto de 2020 .
5. Weisstein, Eric W. "Logaritmo común" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 29 de agosto de 2020 .
6. Hedrick, Earle Raymond (1913). Tablas logarítmicas y trigonométricas . Nueva York, Estados Unidos: Macmillan .
7. "Derivadas de funciones logarítmicas" . Math24 . 2021-04-14.

Bibliografía

• Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , eds. (1983) [junio de 1964]. Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficos y tablas matemáticas . Serie de Matemáticas Aplicadas. 55 (Novena reimpresión con correcciones adicionales de la décima impresión original con correcciones (diciembre de 1972); primera ed.). Washington DC; Nueva York: Departamento de Comercio de los Estados Unidos, Oficina Nacional de Normas; Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036 . Señor  0167642 . LCCN  65-12253 .
• Möser, Michael (2009). Acústica de ingeniería: una introducción al control de ruido . Saltador. pag. 448. ISBN 978-3-540-92722-8.
• Poliyanin, Andrei Dmitrievich; Manzhirov, Alexander Vladimirovich (2007) [27 de noviembre de 2006]. Manual de matemáticas para ingenieros y científicos . Prensa CRC . pag. 9. ISBN 978-1-58488-502-3.