En el campo de la teoría de números , el tamiz de Brun (también llamado tamiz puro de Brun ) es una técnica para estimar el tamaño de "conjuntos tamizados" de enteros positivos que satisfacen un conjunto de condiciones que se expresan mediante congruencias . Fue desarrollado por Viggo Brun en 1915.
Descripción
En términos de la teoría del tamiz, el tamiz de Brun es de tipo combinatorio ; es decir, se deriva de un uso cuidadoso del principio de inclusión-exclusión .
Sea A un conjunto de enteros positivos ≤ xy sea P un conjunto de primos. Para cada p en P , dejar que A p designar el conjunto de elementos de A divisible por p y ampliar este para dejar A d la intersección de la A p para p dividiendo d , cuando d es un producto de números primos distintos de P . Además, supongamos que A 1 denota A sí mismo. Sea z un número real positivo y P ( z ) denote los primos en P ≤ z . El objeto del tamiz es estimar
Suponemos que | A d | puede ser estimado por
donde w es una función multiplicativa y X = | A |. Dejar
El tamiz puro de Brun
Esta formulación es de Cojocaru & Murty , Teorema 6.1.2. Con la notación anterior, suponga que
- | R d | ≤ w ( d ) para cualquier d libre de cuadrados compuesto de primos en P ;
- w ( p ) < C para todo p en P ;
donde C , D , E son constantes.
Luego
donde b es cualquier número entero positivo. En particular, si log z < c log x / log log x para una c adecuadamente pequeña , entonces
Aplicaciones
- Teorema de Brun : la suma de los recíprocos de los primos gemelos converge;
- Teorema de Schnirelmann : cada número par es una suma de como máximo C primos (donde C puede tomarse como 6);
- Hay infinitos pares de números enteros que difieren en 2, donde cada uno de los miembros del par es el producto de como máximo 9 números primos;
- Cada número par es la suma de dos números, cada uno de los cuales es el producto de como máximo 9 números primos.
Los dos últimos resultados fueron reemplazados por el teorema de Chen y el segundo por la conjetura débil de Goldbach ( C = 3).
Referencias
- Viggo Brun (1915). "Über das Goldbachsche Gesetz und die Anzahl der Primzahlpaare". Archivo para Mathematik og Naturvidenskab . B34 (8).
- Viggo Brun (1919). "La série 1/5 + 1/7 + 1/11 + 1/13 + 1/17 + 1/19 + 1/29 + 1/31 + 1/41 + 1/43 + 1/59 + 1/61 + ..., où les dénominateurs sont nombres premiers jumeaux est convergente ou finie ". Bulletin des Sciences Mathématiques . 43 : 100-104, 124-128.
- Alina Carmen Cojocaru; M. Ram Murty (2005). Introducción a los métodos de tamizado y sus aplicaciones . Textos estudiantiles de la London Mathematical Society. 66 . Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 80-112. ISBN 0-521-61275-6.
- George Greaves (2001). Tamices en teoría de números . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3. Folge). 43 . Springer-Verlag. págs. 71–101. ISBN 3-540-41647-1.
- Heini Halberstam ; HE Richert (1974). Métodos de tamiz . Prensa académica . ISBN 0-12-318250-6.
- Christopher Hooley (1976). Aplicaciones de los métodos de tamizado a la teoría de números . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-20915-3..