En teoría de números , la conjetura débil de Goldbach , también conocida como la conjetura extraña de Goldbach , el problema ternario de Goldbach o el problema de los 3 primos , establece que
![]() Carta de Goldbach a Euler fechada el 7 de junio de 1742 (latín-alemán) [1] | |
Campo | Teoría de los números |
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Conjeturado por | Christian Goldbach |
Conjeturado en | 1742 |
Primera prueba por | Harald Helfgott |
Primera prueba en | 2013 |
Implicado por | Conjetura de Goldbach |
- Todo número impar mayor que 5 se puede expresar como la suma de tres números primos . (Un primo puede usarse más de una vez en la misma suma).
Esta conjetura se llama "débil" porque si se prueba la conjetura fuerte de Goldbach (con respecto a las sumas de dos números primos), entonces esto también sería cierto. Porque si cada número par mayor que 4 es la suma de dos primos impares, sumar 3 a cada número par mayor que 4 producirá los números impares mayores que 7 (y 7 en sí mismo es igual a 2 + 2 + 3).
En 2013, Harald Helfgott publicó una prueba de la débil conjetura de Goldbach. [2] A partir de 2018, la prueba es ampliamente aceptada en la comunidad matemática, [3] pero aún no se ha publicado en una revista revisada por pares. La prueba fue aceptada para su publicación en la serie Annals of Mathematics Studies en 2015, y desde entonces se ha estado revisando y revisando. [4]
Algunos afirman la conjetura como
- Todo número impar mayor que 7 se puede expresar como la suma de tres primos impares. [5]
Esta versión excluye 7 = 2 + 2 + 3 porque requiere el primo par 2. En números impares mayores que 7 es un poco más fuerte ya que también excluye sumas como 17 = 2 + 2 + 13, que están permitidas en la otra formulación. La prueba de Helfgott cubre ambas versiones de la conjetura. Como la otra formulación, ésta también se sigue inmediatamente de la fuerte conjetura de Goldbach.
Orígenes
La conjetura se originó en la correspondencia entre Christian Goldbach y Leonhard Euler . Una formulación de la fuerte conjetura de Goldbach, equivalente a la más común en términos de sumas de dos primos, es
- Todo número entero mayor que 5 se puede escribir como la suma de tres números primos.
La conjetura débil es simplemente esta declaración restringida al caso donde el número entero es impar (y posiblemente con el requisito adicional de que los tres primos en la suma sean impares).
Cronograma de resultados
En 1923, Hardy y Littlewood demostraron que, asumiendo la hipótesis generalizada de Riemann , la conjetura débil de Goldbach es cierta para todos los números impares suficientemente grandes . En 1937, Ivan Matveevich Vinogradov eliminó la dependencia de la hipótesis generalizada de Riemann y demostró directamente (véase el teorema de Vinogradov ) que todos los números impares suficientemente grandes pueden expresarse como la suma de tres primos. La demostración original de Vinogradov, ya que utilizó el ineficaz teorema de Siegel-Walfisz , no dio un límite para "suficientemente grande"; su alumno K. Borozdkin (1956) dedujo quees lo suficientemente grande. [6] La parte entera de este número tiene 4,008,660 dígitos decimales, por lo que verificar cada número debajo de esta cifra sería completamente inviable.
En 1997, Deshouillers , Effinger, te Riele y Zinoviev publicaron un resultado que mostraba [7] que la hipótesis generalizada de Riemann implica la conjetura débil de Goldbach para todos los números. Este resultado combina una declaración general válida para números superiores a 10 20 con una búsqueda exhaustiva por computadora de los casos pequeños. Saouter también realizó una búsqueda por computadora que cubría los mismos casos aproximadamente al mismo tiempo. [8]
Olivier Ramaré en 1995 demostró que todo número par n ≥ 4 es de hecho la suma de un máximo de seis primos, de lo que se deduce que todo número impar n ≥ 5 es la suma de un máximo de siete primos. Leszek Kaniecki mostró que cada entero impar es una suma de como máximo cinco números primos, según la Hipótesis de Riemann . [9] En 2012, Terence Tao demostró esto sin la Hipótesis de Riemann; esto mejora ambos resultados. [10]
En 2002, Liu Ming-Chit ( Universidad de Hong Kong ) y Wang Tian-Ze redujeron el umbral de Borozdkin a aproximadamente. El exponente es todavía demasiado grande para admitir que se verifican todos los números más pequeños por computadora. (Las búsquedas por computadora solo han llegado hasta 10 18 para la conjetura fuerte de Goldbach, y no mucho más allá de la conjetura débil de Goldbach).
En 2012 y 2013, el matemático peruano Harald Helfgott publicó un par de artículos que mejoraban las estimaciones de arco mayor y menor lo suficiente como para probar incondicionalmente la conjetura débil de Goldbach. [11] [12] [2] [13] Aquí, los arcos principales es la unión de intervalos alrededor de los racionales dónde es una constante. Arcos menores están definidos para ser .
Referencias
- ↑ Correspondance mathématique et physique de quelques célèbres géomètres du XVIIIème siècle (Band 1), St.-Pétersbourg 1843, págs. 125-129 .
- ↑ a b Helfgott, Harald A. (2013). "La conjetura ternaria de Goldbach es cierta". arXiv : 1312.7748 [ matemáticas.NT ].
- ^ "Alexander von Humboldt-Professur - Harald Andrés Helfgott" . www.humboldt-professur.de . Consultado el 17 de junio de 2018 .
- ^ "Harald Andrés Helfgott" . webusers.imj-prg.fr . Consultado el 6 de abril de 2021 .
- ^ Weisstein, Eric W. "Conjetura de Goldbach" . MathWorld .
- ^ Helfgott, Harald Andrés (2015). "El problema ternario de Goldbach". arXiv : 1501.05438 [ math.NT ].
- ^ Deshouillers, Jean-Marc; Effinger, Gove W .; Te Riele, Herman JJ; Zinoviev, Dmitrii (1997). "Un teorema de 3 primos de Vinogradov completo bajo la hipótesis de Riemann" . Anuncios de investigación electrónica de la American Mathematical Society . 3 (15): 99-104. doi : 10.1090 / S1079-6762-97-00031-0 . Señor 1469323 .
- ^ Yannick Saouter (1998). "Comprobación de la extraña conjetura de Goldbach hasta 10 20 " (PDF) . Matemáticas. Comp. 67 (222): 863–866. doi : 10.1090 / S0025-5718-98-00928-4 . Señor 1451327 .
- ^ Kaniecki, Leszek (1995). "En la constante de Šnirelman bajo la hipótesis de Riemann" (PDF) . Acta Arithmetica . 72 (4): 361–374. doi : 10.4064 / aa-72-4-361-374 . Señor 1348203 .
- ^ Tao, Terence (2014). "Todo número impar mayor que 1 es la suma de como máximo cinco primos". Matemáticas. Comp. 83 (286): 997–1038. arXiv : 1201.6656 . doi : 10.1090 / S0025-5718-2013-02733-0 . Señor 3143702 .
- ^ Helfgott, Harald A. (2013). "Arcos principales del teorema de Goldbach". arXiv : 1305.2897 [ matemáticas.NT ].
- ^ Helfgott, Harald A. (2012). "Arcos menores para el problema de Goldbach". arXiv : 1205.5252 [ matemáticas.NT ].
- ^ Helfgott, Harald A. (2015). "El problema ternario de Goldbach". arXiv : 1501.05438 [ math.NT ].