La teoría del tamiz es un conjunto de técnicas generales en la teoría de números , diseñadas para contar, o de manera más realista, para estimar el tamaño de conjuntos de números enteros tamizados . El ejemplo prototípico de un conjunto tamizado es el conjunto de números primos hasta un límite X prescrito . En consecuencia, el ejemplo prototípico de un tamiz es el tamiz de Eratóstenes , o el tamiz más general de Legendre . El ataque directo a los números primos utilizando estos métodos pronto llega a obstáculos aparentemente insuperables, en el camino de la acumulación de términos de error. [ cita requerida ]En una de las principales vertientes de la teoría de números en el siglo XX, se encontraron formas de evitar algunas de las dificultades de un ataque frontal con una idea ingenua de lo que debería ser el tamizado. [ cita requerida ]
Un enfoque exitoso es aproximar un conjunto específico de números tamizados (por ejemplo, el conjunto de números primos ) por otro conjunto más simple (por ejemplo, el conjunto de números casi primos ), que normalmente es algo más grande que el conjunto original y más fácil de analizar. Los tamices más sofisticados tampoco funcionan directamente con conjuntos per se , sino que los cuentan de acuerdo con funciones de peso cuidadosamente seleccionadas en estos conjuntos (opciones para dar a algunos elementos de estos conjuntos más "peso" que a otros). Además, en algunas aplicaciones modernas, los tamices no se utilizan para estimar el tamaño de un conjunto tamizado, sino para producir una función que es grande en el conjunto y mayormente pequeña fuera de él, siendo más fácil de analizar que la función característica del conjunto.
Tipos de tamizado
Los tamices modernos incluyen el tamiz Brun , el tamiz Selberg , el tamiz Turán , el tamiz grande y el tamiz más grande . Uno de los propósitos originales de la teoría del tamiz era intentar probar conjeturas en la teoría de números como la conjetura de los primos gemelos . Si bien los amplios objetivos originales de la teoría del tamiz aún no se han logrado en gran medida, ha habido algunos éxitos parciales, especialmente en combinación con otras herramientas de la teoría de números. Los aspectos más destacados incluyen:
- El teorema de Brun , que muestra que la suma de los recíprocos de los primos gemelos converge (mientras que la suma de los recíprocos de los primos mismos diverge);
- El teorema de Chen , que muestra que hay infinitos números primos p tales que p + 2 es un primo o un semiprimo (el producto de dos primos); un teorema de Chen Jingrun estrechamente relacionadoafirma que todonúmero par suficientemente grande es la suma de un número primo y otro número que es primo o semiprimo. Estos pueden considerarse como casi errores de la conjetura de los primos gemelos y la conjetura de Goldbach, respectivamente.
- El lema fundamental de la teoría del tamiz , que afirma que si uno está tamizando un conjunto de N números, entonces se puede estimar con precisión el número de elementos que quedan en el tamiz después de iteraciones siempre que es suficientemente pequeño (fracciones como 1/10 son bastante típicas aquí). Este lema suele ser demasiado débil para eliminar los números primos (que generalmente requieren algo comoiteraciones), pero puede ser suficiente para obtener resultados con respecto a casi primos .
- El teorema de Friedlander-Iwaniec , que afirma que hay infinitos números primos de la forma.
- Zhang 's teorema ( Zhang 2014 ), que muestra que hay un número infinito de pares de números primos dentro de una distancia limitada . El teorema de Maynard-Tao ( Maynard 2015 ) generaliza el teorema de Zhang a secuencias de primos arbitrariamente largas.
Técnicas de la teoría del tamiz
Las técnicas de la teoría del tamiz pueden ser bastante poderosas, pero parecen estar limitadas por un obstáculo conocido como problema de paridad , que en términos generales afirma que los métodos de la teoría del tamiz tienen una dificultad extrema para distinguir entre números con un número impar de factores primos y números con un número impar de factores primos. número par de factores primos. Este problema de paridad aún no se comprende muy bien.
Comparada con otros métodos de la teoría de números, la teoría del tamiz es comparativamente elemental , en el sentido de que no requiere necesariamente conceptos sofisticados de la teoría algebraica de números o de la teoría analítica de números . Sin embargo, los tamices más avanzados aún pueden volverse muy intrincados y delicados (especialmente cuando se combinan con otras técnicas profundas de la teoría de números), y se han dedicado libros de texto completos a este único subcampo de la teoría de números; una referencia clásica es ( Halberstam & Richert 1974 ) y un texto más moderno es ( Iwaniec & Friedlander 2010 ).
Los métodos de tamizado discutidos en este artículo no están estrechamente relacionados con los métodos de tamiz de factorización de enteros , como el tamiz cuadrático y el tamiz de campo numérico general . Estos métodos de factorización utilizan la idea del tamiz de Eratóstenes para determinar de manera eficiente qué miembros de una lista de números pueden factorizarse completamente en pequeños números primos.
Referencias
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enlaces externos
- Bredikhin, BM (2001) [1994], "Método del tamiz" , Enciclopedia de las matemáticas , EMS Press