Función Buchstab

La función Buchstab (o función Buchstab ) es la función continua única definida por la ecuación diferencial de retardo${\ Displaystyle \ omega: \ mathbb {R} _ {\ geq 1} \ rightarrow \ mathbb {R} _ {> 0}}$

En la segunda ecuación, la derivada en u  = 2 debe tomarse cuando u se aproxima a 2 por la derecha. Lleva el nombre de Alexander Buchstab , quien escribió sobre él en 1937.

La función Buchstab se aproxima rápidamente a donde es la constante de Euler-Mascheroni . De hecho,${\ Displaystyle e ^ {- \ gamma}}$${\ Displaystyle u \ to \ infty,}$${\ Displaystyle \ gamma}$

donde ρ es la función de Dickman . ^[1] Además, oscila de forma regular, alternando entre extremos y ceros; los extremos alternan entre máximos positivos y mínimos negativos. El intervalo entre extremos consecutivos se acerca a 1 cuando u se acerca al infinito, al igual que el intervalo entre ceros consecutivos. ^[2]${\ Displaystyle \ omega (u) -e ^ {- \ gamma}}$

La función Buchstab se utiliza para contar números aproximados . Si Φ ( x ,  y ) es el número de enteros positivos menores o iguales ax sin factor primo menor que y , entonces para cualquier u  > 1 fijo ,

Gráfica de la función Buchstab ω ( u ) de u  = 1 a u  = 4.