En la teoría analítica de números , la función de Dickman o la función de Dickman-de Bruijn ρ es una función especial que se usa para estimar la proporción de números suaves hasta un límite dado. Primero fue estudiado por el actuario Karl Dickman , quien lo definió en su única publicación matemática, [1] y luego estudiado por el matemático holandés Nicolaas Govert de Bruijn . [2] [3]
Definición
La función Dickman-de Bruijn es una función continua que satisface la ecuación diferencial de retardo
con condiciones iniciales para 0 ≤ u ≤ 1.
Propiedades
Dickman demostró que, cuando está arreglado, tenemos
dónde es el número de enteros y - suaves (o y - friables ) por debajo de x .
Ramaswami más tarde dio una prueba rigurosa de que para un fijo , era asintótico a , con el error vinculado
en notación O grande . [4]
Aplicaciones
El propósito principal de la función de Dickman-de Bruijn es estimar la frecuencia de números suaves en un tamaño dado. Esto se puede usar para optimizar varios algoritmos teóricos de números, como la factorización P-1, y puede ser útil por derecho propio.
Se puede mostrar usando que [5]
que está relacionado con la estimación debajo.
La constante de Golomb-Dickman tiene una definición alternativa en términos de la función de Dickman-de Bruijn.
Estimacion
Una primera aproximación podría ser Una mejor estimación es [6]
donde Ei es la integral exponencial y ξ es la raíz positiva de
Un límite superior simple es
1 | 1 |
2 | 3.0685282 × 10 - 1 |
3 | 4.8608388 × 10 - 2 |
4 | 4.9109256 × 10 - 3 |
5 | 3.5472470 × 10 - 4 |
6 | 1.9649696 × 10 - 5 |
7 | 8.7456700 × 10 - 7 |
8 | 3.2320693 × 10 - 8 |
9 | 1.0162483 × 10 - 9 |
10 | 2.7701718 × 10 - 11 |
Cálculo
Para cada intervalo [ n - 1, n ] con n un número entero, hay una función analítica tal que . Para 0 ≤ u ≤ 1,. Para 1 ≤ u ≤ 2,. Para 2 ≤ u ≤ 3,
con Li 2 el dilogaritmo . Otrose puede calcular utilizando series infinitas. [7]
Un método alternativo es calcular los límites superior e inferior con la regla trapezoidal ; [6] una malla de tamaños progresivamente más finos permite una precisión arbitraria. Para cálculos de alta precisión (cientos de dígitos), una expansión de series recursivas sobre los puntos medios de los intervalos es superior. [8]
Extensión
Friedlander define un análogo bidimensional de . [9] Esta función se utiliza para estimar una función.similar al de De Bruijn, pero contando el número de enteros suaves y con como máximo un factor primo mayor que z . Luego
Ver también
- Función Buchstab , una función que se usa de manera similar para estimar el número de números aproximados , cuya convergencia a está controlado por la función Dickman
- Constante de Golomb-Dickman
Referencias
- ^ Dickman, K. (1930). "Sobre la frecuencia de números que contienen factores primos de cierta magnitud relativa". Arkiv för Matematik, Astronomi och Fysik . 22A (10): 1–14.
- ^ de Bruijn, NG (1951). "Sobre el número de enteros positivos ≤ x y libre de factores primos> y " (PDF) . Indagationes Mathematicae . 13 : 50–60.
- ^ de Bruijn, NG (1966). "Sobre el número de enteros positivos ≤ x y libre de factores primos> y , II" (PDF) . Indagationes Mathematicae . 28 : 239–247.
- ^ Ramaswami, V. (1949). "Sobre el número de enteros positivos menores quey libre de divisores primos mayores que x c " (PDF) . Bulletin of the American Mathematical Society . 55 (12): 1122–1127. doi : 10.1090 / s0002-9904-1949-09337-0 . MR 0031958 .
- ^ Hildebrand, A .; Tenenbaum, G. (1993). "Enteros sin grandes factores primos" (PDF) . Journal de théorie des nombres de Bordeaux . 5 (2): 411–484. doi : 10.5802 / jtnb.101 .
- ^ a b van de Lune, J .; Wattel, E. (1969). "Sobre la solución numérica de una ecuación en diferencia diferencial que surge en la teoría analítica de números" . Matemáticas de la Computación . 23 (106): 417–421. doi : 10.1090 / S0025-5718-1969-0247789-3 .
- ^ Bach, Eric; Peralta, René (1996). "Probabilidades de semisuavidad asintótica" (PDF) . Matemáticas de la Computación . 65 (216): 1701-1715. doi : 10.1090 / S0025-5718-96-00775-2 .
- ^ Marsaglia, George; Zaman, Arif; Marsaglia, John CW (1989). "Solución numérica de algunas ecuaciones clásicas en diferencia diferencial" . Matemáticas de la Computación . 53 (187): 191–201. doi : 10.1090 / S0025-5718-1989-0969490-3 .
- ^ Friedlander, John B. (1976). "Enteros libres de números primos grandes y pequeños". Proc. London Math. Soc . 33 (3): 565–576. doi : 10.1112 / plms / s3-33.3.565 .
Otras lecturas
- Broadhurst, David (2010). "Polilogaritmos de Dickman y sus constantes". arXiv : 1004.0519 [ math-ph ].
- Soundararajan, Kannan (2012). "Una expansión asintótica relacionada con la función de Dickman". Diario Ramanujan . 29 (1-3): 25-30. arXiv : 1005.3494 . doi : 10.1007 / s11139-011-9304-3 . Señor 2994087 .
- Weisstein, Eric W. "Función de Dickman" . MathWorld .