En geometría euclidiana , el teorema del haz es un enunciado sobre seis círculos y ocho puntos en el plano euclidiano. En geometría de incidencia general , es una propiedad similar que un plano de Möbius puede o no satisfacer. Según el Teorema de Kahn, se cumple únicamente con los planos "ovoidales" de Möbius; por tanto, es el análogo de los planos de Möbius del Teorema de Desargues para planos proyectivos .
Teorema del paquete. Si por ocho puntos diferentes cinco de los seis cuádruples son concíclicos (contenidos en un ciclo) en al menos cuatro ciclos , entonces el sexto cuádruple también es concíclico. [1]
El teorema del paquete no debe confundirse con el teorema de Miquel .
Un plano ovoidal de Möbius en el espacio euclidiano real puede considerarse como la geometría de las secciones planas de una superficie similar a un huevo, como una esfera o un elipsoide, o media esfera pegada a la mitad adecuada de un elipsoide, o la superficie con la ecuación , etc. Si la superficie similar a un huevo es una esfera, se obtiene el modelo espacial del plano real clásico de Möbius , que es la "geometría circular" de la esfera.
La propiedad esencial de un plano ovoidal de Möbius es la existencia de un modelo espacial a través de un ovoide. Un ovoide en un espacio proyectivo tridimensional es un conjunto de puntos, que a) está intersecado por líneas en 0, 1 o 2 puntos yb) sus tangentes en un punto arbitrario cubren un plano (plano tangente). La geometría de un ovoide en el 3-espacio proyectivo es un plano de Möbius, llamado plano ovoidal de Möbius . El conjunto de puntos de la geometría consta de los puntos del ovoide y las curvas ("ciclos") son las secciones planas del ovoide. Una proyección estereográfica adecuada muestra que para cualquier plano ovoidal de Möbius existe un modelo plano. [2] En el caso clásico, el modelo plano es la geometría de los círculos y las líneas (donde cada línea se completa con un punto en el infinito). El teorema del paquete tiene una interpretación plana y espacial. En el modelo plano puede haber líneas involucradas. La demostración del teorema del paquete se realiza dentro del modelo espacial.
Teorema. El teorema del haz se cumple en todos los planos ovoidales de Möbius.
La prueba es una consecuencia de las siguientes consideraciones, que utilizan esencialmente el hecho de que tres planos en un espacio proyectivo tridimensional se cruzan en un solo punto:
- Los planos que contienen los ciclos intersecar en un punto . Por eso es el punto de intersección de las líneas (¡en el espacio!) .
- Los planos que contienen los ciclos intersecar en un punto . Por eso es el punto de intersección de las líneas , también.
Esto produce: a) y B) intersecar en el punto , también. La última declaración significa:son concíclicos. Los aviones involucrados tienen puntoen común, son elementos de un conjunto de planos.
Jeff Kahn demostró la importancia del teorema del paquete .
Teorema de Kahn. Un plano de Möbius es ovoidal si y solo si cumple el teorema del haz. [3]
El teorema del haz es análogo para los planos de Möbius al teorema de Desargues para los planos proyectivos . Del teorema del haz se sigue la existencia de a) un campo de sesgo (anillo de división) yb) un ovoide. Si se cumple el teorema más estricto de Miquel, el skewfield es incluso conmutativo (campo) y el ovoide es un cuadrático .
Hay planos de Möbius, que no son ovoidales. [4]
Para los planos ovoidales de Laguerre existe un teorema de haz con un significado análogo. [5]
Referencias
Fuentes
- Hartmann, Erich. Geometrías circulares planas, una introducción a los planos de Möbius, Laguerre y Minkowski. (PDF; 891 kB) Departamento de Matemáticas, Universidad Tecnológica de Darmstadt
- Kahn, Jeff. Planos inversos que satisfacen el teorema del haz . Journal of Combinatorial Theory, Serie A, Volumen 29, Número 1, págs. 1-19, julio de 1980. doi: 10.1016 / 0097-3165 (80) 90043-6
Otras lecturas
- W. Benz, Vorlesungen über Geometrie der Algebren , Springer (1973)
- P. Dembowski, Geometrías finitas , Springer-Verlag (1968) ISBN 3-540-61786-8 , p. 256