En matemáticas, un plano de Möbius (llamado así por August Ferdinand Möbius ) es uno de los planos de Benz : plano de Möbius, plano de Laguerre y plano de Minkowski . El ejemplo clásico se basa en la geometría de líneas y círculos en el plano afín real .
Un segundo nombre para el plano de Möbius es plano inverso . Se debe a la existencia de inversiones en el plano clásico de Möbius. Una inversión es un mapeo involutivo que deja fijos los puntos de un círculo o línea (ver más abajo).
Relación con planos afines
Los planos afines son sistemas de puntos y líneas que satisfacen, entre otras, la propiedad de que dos puntos determinan exactamente una línea. Este concepto se puede generalizar a sistemas de puntos y círculos, y cada círculo está determinado por tres puntos no colineales. Sin embargo, tres puntos colineales determinan una línea, no un círculo. Este inconveniente se puede eliminar agregando un punto en el infinito a cada línea. Si llamamos ciclos a ambos círculos y líneas completas , obtenemos una estructura de incidencia en la que cada tres puntos determina exactamente un ciclo.
En un plano afín, la relación paralela entre líneas es esencial. En la geometría de los ciclos, esta relación se generaliza a la relación de tocar . Dos ciclos se tocan si tienen un solo punto en común. Esto es cierto para dos círculos tangentes o una línea que es tangente a un círculo . Dos líneas completadas se tocan si solo tienen el punto en el infinito en común, por lo que son paralelas. La relación conmovedora tiene la propiedad
- para cualquier ciclo , punto en y cualquier punto no en hay exactamente un ciclo conteniendo puntos y tocando (en el punto ).
Estas propiedades definen esencialmente un plano axiomático de Möbius . Pero el plano clásico de Möbius no es la única estructura geométrica que satisface las propiedades de un plano axiomático de Möbius. Se puede lograr un ejemplo adicional simple de un plano de Möbius si se reemplazan los números reales por números racionales . El uso de números complejos (en lugar de números reales) no conduce a un plano de Möbius, porque en el plano afín complejo la curvano es una curva circular, sino una hipérbola. Afortunadamente, hay muchos campos (números) junto con formas cuadráticas adecuadas que conducen a planos de Möbius (ver más abajo). Estos ejemplos se denominan miqueliano porque cumplen el teorema de Miquel . Todos estos planos de Möbius michelianos pueden describirse mediante modelos espaciales. El plano clásico de Möbius real puede considerarse como la geometría de círculos en la esfera unitaria. La ventaja esencial del modelo espacial es que cualquier ciclo es solo un círculo (en la esfera).
Avión clásico de Möbius real
Partimos del plano real afín con la forma cuadrática y obtén el plano euclidiano real :es el conjunto de puntos , las rectas se describen mediante ecuaciones o y un círculo es un conjunto de puntos que cumple una ecuación
- .
La geometría de líneas y círculos del plano euclidiano se puede homogeneizar (similar a la terminación proyectiva de un plano afín) incorporándola a la estructura de incidencia.
con
- , el conjunto de puntos , y
- el conjunto de ciclos .
- Se llama plano clásico de Möbius real .
Dentro de la nueva estructura, las líneas terminadas ya no juegan un papel especial. Obviamente tiene las siguientes propiedades.
- Para cualquier conjunto de tres puntos hay exactamente un ciclo que contiene .
- Para cualquier ciclo , Cualquier punto y existe exactamente un ciclo con: y , es decir y tocarse en el punto.
- se puede describir usando el
números complejos. representa el punto :
- , y
( es el número conjugado de .)
La ventaja de esta descripción es que se comprueba fácilmente que las siguientes permutaciones de mapear ciclos en ciclos.
- (1) con (rotación + dilatación)
- (2) con (traducción)
- (3) (reflejo en )
- (4) (reflexión o inversión a través del eje real)
Considerando como línea proyectiva sobre uno reconoce que las asignaciones generar el grupo (s. PGL (2, C) , transformación de Möbius ). La geometríaes una estructura homogénea, es decir , su grupo de automorfismos es transitivo . Por tanto, de (4) obtenemos: Para cualquier ciclo existe una inversión . Por ejemplo: es la inversión que fija el círculo unitario . Esta propiedad da lugar al plano inverso del nombre alternativo .
Similar al modelo espacial de un plano proyectivo desarguesiano, existe un modelo espacial para la geometría que omite la diferencia formal entre ciclos definidos por líneas y ciclos definidos por círculos: La geometría es isomorfo a la geometría de los círculos en una esfera. El isomorfismo se puede realizar mediante una proyección estereográfica adecuada . Por ejemplo: [1]
es una proyección con centro y mapas
- el plano xy en la esfera con la ecuación , punto medio y radio .
- el círculo con ecuación en el avión . Eso significa que la imagen de un círculo es una sección plana de la esfera y, por lo tanto, un círculo (en la esfera) nuevamente. Los planos correspondientes no contienen centro.
- la linea en el avión . Entonces, la imagen de una línea es un círculo (en la esfera) que pasa por el punto pero no contiene punto .
Axiomas de un plano de Möbius
El comportamiento incidental del plano de Möbius real clásico da razón a la siguiente definición de un plano de Möbius axiomático.
Una estructura de incidencia con conjunto de puntos y conjunto de ciclos se llama plano de Möbius si se cumplen los siguientes axiomas:
- A1: para tres puntos cualesquiera hay exactamente un ciclo eso contiene .
- A2: para cualquier ciclo , Cualquier punto y existe exactamente un ciclo con: y ( y tocarse en el punto ).
- A3: Cualquier ciclo contiene al menos tres puntos. Hay al menos un ciclo.
Cuatro puntos son concíclicos si hay un ciclo con .
No se debe esperar que los axiomas anteriores definan el plano real clásico de Möbius. Hay muchos ejemplos de planos axiomáticos de Möbius que son diferentes del clásico (ver más abajo). Similar al modelo mínimo de un plano afín, uno encuentra el modelo mínimo de un plano de Möbius. Consiste en puntos:
. Por eso:.
La conexión entre el plano clásico de Möbius y el plano afín real se puede encontrar de manera similar entre el modelo mínimo de un plano de Möbius y el modelo mínimo de un plano afín. Esta fuerte conexión es típica de los planos de Möbius y planos afines (ver más abajo).
Para un avión de Möbius y definimos estructura y llamarlo el residuo en el punto P .
Para el modelo clásico, el residuo en el punto es el plano afín real subyacente. El significado esencial del residuo muestra el siguiente teorema.
Teorema: Cualquier residuo de un plano de Möbius es un plano afín.
Este teorema permite utilizar los resultados abundantes en planos afines para investigaciones en planos de Möbius y da lugar a una definición equivalente de un plano de Möbius:
Teorema: una estructura de incidencia es un plano de Möbius si y solo si se cumple la siguiente propiedad
- A ': Para cualquier punto el residuo es un plano afín.
Para planos finitos de Möbius, es decir , tenemos (similar a planos afines):
- Dos ciclos cualesquiera de un plano de Möbius tienen el mismo número de puntos.
Esto da razón para la siguiente definición:
Para un plano finito de Möbius y un ciclo el entero se llama orden de.
De la combinatoria obtenemos
- Dejar ser un plano de orden de Möbius . Entonces a) cualquier residuo es un plano afín de orden , B) , C)
Aviones Miquelian Möbius
Buscando más ejemplos de planos de Möbius, parece prometedor generalizar la construcción clásica comenzando con una forma cuadrática. en un plano afín sobre un campo para definir círculos. Pero, solo para reemplazar los números reales por cualquier campo y mantener la forma cuadrática clásica para describir los círculos no funciona en general. Para obtener más detalles, debe consultar la nota de la conferencia a continuación. Entonces, solo para pares adecuados de campos y formas cuadráticas se obtienen planos de Möbius. Se caracterizan (como el modelo clásico) por una enorme homogeneidad y el siguiente teorema de Miquel.
Teorema (Miquel): Para el plano de Möbiuslo siguiente es cierto:
si para cualquiera de los 8 puntos que se puede asignar a los vértices de un cubo de modo que los puntos en 5 caras correspondan a cuádruples concíclicos que el sexto cuádruple de puntos también es concíclico.
Lo contrario también es cierto.
Teorema (Chen): Solo un plano de Möbius satisface el Teorema de Miquel.
Debido al último teorema, un plano de Möbius se llama plano de Möbius miqueliano .
Observación: El modelo mínimo de un avión de Möbius es miqueliano. Es isomorfo al plano de Möbius.
- con (campo ) y .
- (Por ejemplo, el círculo unitario es el punto establecido .)
Observación: si elegimosEn el campo de los números complejos, no existe una forma cuadrática adecuada en absoluto.
- La elección (el campo de los números racionales) y es adecuado.
- La elección (el campo de los números racionales) y también es adecuado.
Observación: Una proyección estereográfica muestra: es isomorfo a la geometría del plano
- secciones en una esfera ( cuadrático no degenerado de índice 1) en 3 espacios proyectivos sobre el campo .
Observación: Aquí se puede encontrar una demostración del teorema de Miquel para el caso clásico (real) . Es elemental y se basa en el teorema de un ángulo inscrito .
Observación: Hay muchos aviones de Möbius que no son michelianos (consulte el enlace web a continuación). La clase que es más similar a los planos de Möbius miquelianos son los planos ovoidales de Möbius . Un plano de Möbius ovoidal es la geometría de las secciones planas de un ovoide . Un ovoide es un conjunto cuadrático y tiene las mismas propiedades geométricas que una esfera en un 3-espacio proyectivo: 1) una línea corta a un ovoide en ninguno, uno o dos puntos y 2) en cualquier punto del ovoide el conjunto de la tangente las rectas forman un plano, el plano tangente . Se puede construir un ovoide simple en un espacio tridimensional real pegando dos mitades adecuadas de diferentes elipsoides, de modo que el resultado no sea un cuadrático. Incluso en el caso finito existen ovoides (ver conjunto cuadrático ). Los planos ovoidales de Möbius se caracterizan por el teorema del haz .
Planos finitos de Möbius y diseños de bloques
Un diseño de bloque con los parámetros de la extensión de un punto de un plano afín finito de orden n , es decir, un diseño 3- ( n 2 + 1, n + 1, 1) , es un plano de Möbius, de orden n .
Estos diseños de bloques finitos satisfacen los axiomas que definen un plano de Möbius, cuando un círculo se interpreta como un bloque del diseño.
Los únicos valores finitos conocidos para el orden de un plano de Möbius son los poderes primos o primos. Los únicos planos finitos de Möbius conocidos se construyen dentro de geometrías proyectivas finitas.
Ver también
Referencias
enlaces externos
- Plano de Moebius en la Enciclopedia de Matemáticas
- Plano de Benz en la Enciclopedia de las Matemáticas
- Lecture Note Geometrías circulares planas ', una introducción a los planos de Möbius, Laguerre y Minkowski