En matemáticas , un plano de Laguerre es uno de los planos de Benz : el plano de Möbius , el plano de Laguerre y el plano de Minkowski , llamado así por el matemático francés Edmond Nicolas Laguerre .
avión de Laguerre clásico: modelo 2d / 3d
El plano de Laguerre clásico es una estructura de incidencia que describe el comportamiento de incidencia de las curvas, es decir, parábolas y líneas, en el plano afín real . Para simplificar la estructura, a cualquier curva el punto está agregado. Una ventaja adicional de esta terminación es: La geometría plana de las parábolas / líneas completadas es isomorfa a la geometría de las secciones planas de un cilindro (ver más abajo).
El clásico avión de Laguerre realOriginalmente, el plano clásico de Laguerre se definió como la geometría de las líneas y círculos orientados en el plano euclidiano real (ver [1] ). Aquí preferimos el modelo de parábola del plano clásico de Laguerre.
Definimos:
el conjunto de puntos ,el conjunto de ciclos .
La estructura de incidencia Se llama plano clásico de Laguerre .
El punto establecido es más una copia de (ver figura). Cualquier parábola / línea obtiene el punto adicional .
Los puntos con la misma coordenada x no se pueden conectar mediante curvas . De ahí definimos:
Dos puntos son paralelo () Si o no hay un ciclo que contenga y .
Para la descripción del plano de Laguerre real clásico por encima de dos puntos son paralelos si y solo si . es una relación de equivalencia , similar a la paralelidad de líneas.
La estructura de incidencia tiene las siguientes propiedades:
Lema:
- Por tres puntos cualesquiera , por pares no en paralelo, hay exactamente un ciclo conteniendo .
- Por cualquier punto y cualquier ciclo hay exactamente un punto tal que .
- Para cualquier ciclo , Cualquier punto y cualquier punto que no es paralelo a hay exactamente un ciclo mediante con , es decir y tocarse en.
Plano de Laguerre: proyección estereográfica del plano xz sobre un cilindro
Similar al modelo de esfera del plano clásico de Moebius, existe un modelo de cilindro para el plano clásico de Laguerre:
es isomorfo a la geometría de las secciones planas de un cilindro circular en .
El siguiente mapeo es una proyección con centro que mapea el plano xz en el cilindro con la ecuación , eje y radio
- Los puntos (línea en el cilindro que pasa por el centro) no aparecen como imágenes.
- proyecta la parábola / línea con la ecuación en el avión . Entonces, la imagen de la parábola / línea es la sección plana del cilindro con un plano no perpendicular y, por lo tanto, un círculo / elipse sin punto.. Las parábolas / línea se mapean en círculos (horizontales).
- Una línea (a = 0) se asigna a un círculo / Elipse a través del centro y una parábola ) en un círculo / elipse que no contiene .
Los axiomas de un plano de LaguerreEl Lema anterior da lugar a la siguiente definición:
Dejar ser una estructura de incidencia con un conjunto de puntosy conjunto de ciclos .
Dos puntosson paralelo () Si o no hay un ciclo que contenga y .
se llama plano de Laguerre si se cumplen los siguientes axiomas:
Plano de Laguerre: axiomas
- B1: Para tres puntos cualesquiera , por pares no en paralelo, hay exactamente un ciclo eso contiene .
- B2: para cualquier punto y cualquier ciclo hay exactamente un punto tal que .
- B3: para cualquier ciclo , Cualquier punto y cualquier punto que no es paralelo a hay exactamente un ciclo mediante con ,
- es decir y tocarse en .
- B4: Cualquier ciclo contiene al menos tres puntos, hay al menos un ciclo. Hay al menos cuatro puntos que no forman parte de un ciclo.
Cuatro puntos son concíclicos si hay un ciclo con .
De la definición de relación y axioma B2 obtenemos
Lema: Relaciónes una relación de equivalencia .
Siguiendo el modelo de cilindro del plano de Laguerre clásico introducimos la denotación:
a) Para establecimos . b) Una clase de equivalenciase llama generador .
Para el plano clásico de Laguerre, un generador es una línea paralela al eje y (modelo plano) o una línea en el cilindro (modelo espacial).
La conexión con la geometría lineal viene dada por la siguiente definición:
Para un avión de Laguerre definimos la estructura local
y llámelo residuo en el punto P.
En el modelo plano del plano clásico de Laguerre es el verdadero plano afín . En general obtenemos
Teorema: Cualquier residuo de un plano de Laguerre es un plano afín .
Y la definición equivalente de un avión de Laguerre:
Teorema: una estructura de incidencia junto con una relación de equivalencia en es un plano de Laguerre si y solo si para cualquier punto el residuo es un plano afín.
Planos finitos de Laguerremodelo mínimo de un avión de Laguerre (solo se muestran 4 de 8 ciclos)
La siguiente estructura de incidencia es un modelo mínimo de un plano de Laguerre:
Por eso y
Para planos finitos de Laguerre, es decir , obtenemos:
Lema: para cualquier ciclo y cualquier generador de un plano de Laguerre finito tenemos:
- .
Para un plano de Laguerre finito y un ciclo el entero se llama orden de.
De la combinatoria obtenemos
Lema: dejarser un Laguerre - plano de orden . Luego
- a) cualquier residuo es un plano afín de orden B) C)
Aviones Miqueliano LaguerreA diferencia de los planos de Moebius, la generalización formal del modelo clásico de un plano de Laguerre, es decir, reemplazando por un campo arbitrario , conduce en cualquier caso a un ejemplo de avión de Laguerre.
Teorema: para un campo y
- ,
- la estructura de incidencia
- es un plano de Laguerre con la siguiente relación paralela: si y solo si .
Similar a un plano de Möbius, la versión de Laguerre del Teorema de Miquel sostiene:
Teorema de Miquel (círculos dibujados en lugar de parábolas)
Teorema de MIQUEL: Para el plano de Laguerre lo siguiente es cierto:
- Si para cualquiera de los 8 puntos no paralelos por pares que se puede asignar a los vértices de un cubo de modo que los puntos en 5 caras correspondan a cuádruples concíclicos, entonces el sexto cuádruple de puntos también es concíclico.
(Para una mejor visión general de la figura, hay círculos dibujados en lugar de parábolas)
La importancia del Teorema de Miquel muestra el siguiente teorema, que se debe a vd Waerden, Smid y Chen:
Teorema: solo un plano de Laguerre satisface el teorema de Miquel.
Debido al último teorema se llama avión micheliano de Laguerre .
Observación: El modelo mínimo de un avión de Laguerre es miqueliano.
- Es isomorfo al plano de Laguerre con (campo ).
Observación: Una proyección estereográfica adecuada muestra: es isomorfo a la geometría de las secciones planas en un cilindro cuádrico sobre el campo .
Aviones ovoidales de LaguerreHay muchos aviones Laguerre que no son michelianos (consulte el enlace web a continuación). La clase que más se asemeja a los planos de Laguerre michelianos son los planos ovoidales de Laguerre . Un plano de Laguerre ovoidal es la geometría de las secciones planas de un cilindro que se construye utilizando un óvalo en lugar de una cónica no degenerada. Un óvalo es un conjunto cuadrático y tiene las mismas propiedades geométricas que una cónica no degenerada en un plano proyectivo: 1) una línea interseca un óvalo en cero, uno o dos puntos y 2) en cualquier punto hay una tangente única. Se puede construir un óvalo simple en el plano real pegando dos mitades adecuadas de elipses diferentes, de modo que el resultado no sea una cónica. Incluso en el caso finito existen óvalos (ver conjunto cuadrático ).
Ver tambiénReferencias- ^ Benz, Walter (2013) [1973], Vorlesungen über Geometrie der Algebren (en alemán), Heidelberg: Springer , p. 11, ISBN 9783642886713
enlaces externos