Categoría Burnside

En la teoría de categorías y la teoría de la homotopía, la categoría de Burnside de un grupo finito G es una categoría cuyos objetos son G -conjuntos finitos y cuyos morfismos son (clases de equivalencia de) tramos de G -mapas equivalentes. Es una categorización del anillo Burnside de G.

Sea G un grupo finito (de hecho, todo funcionará literalmente para un grupo profinito ). Entonces, para cualesquiera dos G -conjuntos finitos X e Y , podemos definir una relación de equivalencia entre tramos de G -conjuntos de la forma en que dos tramos y son equivalentes si y sólo si hay una biyección G -equivariante de U y W conmutando con el mapas de proyección a X e Y. Este conjunto de clases de equivalencia forma naturalmente un monoide bajo unión disjunta; indicamos con la finalización del grupo ${\ estilo de visualización X \ flecha izquierda U \ flecha derecha Y}$ ${\ estilo de visualización X \ flecha izquierda U \ flecha derecha Y}$ ${\ estilo de visualización X \ flecha izquierda W \ flecha derecha Y}$ ${\ estilo de visualización A (G) (X, Y)}$ de ese monoide. Tomar pullbacks induce mapas naturales . $A(G)(X,Y)\times A(G)(Y,Z)\rightarrow A(G)(X,Z)$

Finalmente podemos definir la categoría de Burnside A(G) de G como la categoría cuyos objetos son G -conjuntos finitos y los morfismos espacios son los grupos . ${\ estilo de visualización A (G) (X, Y)}$

Si C es una categoría aditiva , entonces un funtor Mackey con valor C es un funtor aditivo de A (G) a C. Los funtores de Mackey son importantes en la teoría de la representación y en la teoría de la homotopía equivariante estable.