En matemáticas , el grupo Grothendieck construcción construye un grupo abeliano de un monoide conmutativo M de la manera más universal, en el sentido de que cualquier grupo abeliano que contiene un homomorphic imagen de M también contendrá una imagen homomorphic del grupo de Grothendieck de M . La construcción del grupo de Grothendieck toma su nombre de un caso específico en la teoría de categorías , introducido por Alexander Grothendieck en su demostración del teorema de Grothendieck-Riemann-Roch , que resultó en el desarrollo de la teoría K. Este caso específico es el monoide de clases de isomorfismo de objetos de una categoría abeliana , con la suma directa como su operación.
Grupo de Grothendieck de un monoide conmutativo
Motivación
Dado un monoide conmutativo M , el grupo abeliano K "más general" que surge de M debe construirse introduciendo inversos aditivos. Tal grupo abeliano K siempre existe; se llama el grupo de Grothendieck de M . Se caracteriza por una cierta propiedad universal y también se puede construir concretamente de M .
Tenga en cuenta que la existencia de un elemento cero en el monoide va en contra de la propiedad inversa, ya que el elemento cero incrustado en K debe tener un elemento inverso cuya suma con 0 debe ser simultáneamente 0 y 1, forzando . La construcción general en presencia de elementos cero siempre construye el grupo trivial , como el único grupo que satisface esta ecuación.
Propiedad universal
Sea M un monoide conmutativo. Su grupo K de Grothendieck es un grupo abeliano con la siguiente propiedad universal: existe un homomorfismo monoide
tal que para cualquier homomorfismo monoide
del monoide conmutativo M a un grupo abeliano A , hay un homomorfismo de grupo único
tal que
Esto expresa el hecho de que cualquier grupo abeliano A que contiene una imagen homomorphic de M también contendrá una imagen homomorphic de K , K siendo el grupo abeliano "General más" que contiene una imagen homomorphic de M .
Construcciones explícitas
Para construir el grupo K de Grothendieck de un monoide conmutativo M , se forma el producto cartesiano. Las dos coordenadas están destinadas a representar una parte positiva y una parte negativa, por lo que corresponde a en K .
Además de se define por coordenadas:
- .
A continuación, se define una relación de equivalencia en, tal que es equivalente a si, para algún elemento k de M , m 1 + n 2 + k = m 2 + n 1 + k (el elemento k es necesario porque la ley de cancelación no se cumple en todos los monoides). La clase de equivalencia del elemento ( m 1 , m 2 ) se denota por [( m 1 , m 2 )]. Uno define K como el conjunto de clases de equivalencia. Dado que la operación de suma en M × M es compatible con nuestra relación de equivalencia, se obtiene una adición en K , y K se convierte en un grupo abeliano. El elemento de identidad de K es [(0, 0)], y la inversa de [( m 1 , m 2 )] es [( m 2 , m 1 )]. El homomorfismoenvía el elemento m a [( m , 0)].
Alternativamente, el grupo de Grothendieck K de M también se puede construir usando generadores y relaciones : denotando porel grupo abeliano libre generado por el conjunto M , el grupo de Grothendieck K es el cociente de por el subgrupo generado por . (Aquí + ′ y - ′ denotan la suma y resta en el grupo abeliano libremientras que + denota la adición en el monoide M. ) Esta construcción tiene la ventaja de que se puede realizar para cualquier semigrupo M y produce un grupo que satisface las propiedades universales correspondientes para semigrupos, es decir, el "grupo más general y más pequeño que contiene una imagen homomórfica de M ". Esto se conoce como "finalización grupal de un semigrupo" o "grupo de fracciones de un semigrupo".
Propiedades
En el lenguaje de la teoría de categorías , cualquier construcción universal da lugar a un funtor ; se obtiene así un funtor de la categoría de monoides conmutativos a la categoría de grupos abelianos que envía el monoide conmutativo M a su grupo K de Grothendieck . Este functor se deja adjunto al functor olvidadizo de la categoría de grupos abelianos a la categoría de monoides conmutativos.
Para un monoide conmutativo M , el mapa i : M → K es inyectivo si y solo si M tiene la propiedad de cancelación , y es biyectivo si y solo si M ya es un grupo.
Ejemplo: los enteros
El ejemplo más sencillo de un grupo de Grothendieck es la construcción de números enteros de los números naturales (aditivos) . Primero se observa que los números naturales (incluido el 0) junto con la adición habitual forman un monoide conmutativoAhora, cuando se usa la construcción de grupo de Grothendieck, se obtienen las diferencias formales entre los números naturales como elementos n - my se tiene la relación de equivalencia
- para algunos .
Ahora define
Esto define los enteros . De hecho, esta es la construcción habitual para obtener los números enteros a partir de los números naturales. Consulte "Construcción" en Enteros para obtener una explicación más detallada.
Ejemplo: los números racionales positivos
De manera similar, el grupo de Grothendieck del monoide conmutativo multiplicativo (comenzando en 1) consta de fracciones formales con la equivalencia
- para algunos que por supuesto se puede identificar con los números racionales positivos.
Ejemplo: el grupo de Grothendieck de una variedad
El grupo de Grothendieck es la construcción fundamental de la K-teoría . El grupode una variedad compacta M se define como el grupo de Grothendieck del monoide conmutativo de todas las clases de isomorfismo de haces de vectores de rango finito en M con la operación monoide dada por suma directa. Esto da un funtor contravariante de variedades a grupos abelianos. Este funtor se estudia y amplía en la teoría K topológica .
Ejemplo: el grupo Grothendieck de un anillo
El grupo K algebraico cero de un anillo (no necesariamente conmutativo) R es el grupo de Grothendieck del monoide que consiste en clases de isomorfismo de módulos proyectivos generados finitamente sobre R , con la operación del monoide dada por la suma directa. Luego es un funtor covariante de anillos a grupos abelianos.
Los dos ejemplos anteriores están relacionados: considere el caso en el que es el anillo de valor complejo funciones suaves en una variedad compacta M . En este caso, los módulos R proyectivos son duales a los paquetes vectoriales sobre M (según el teorema de Serre-Swan ). Por lo tanto y son el mismo grupo.
Grothendieck group y extensiones
Definición
Otra construcción que lleva el nombre de grupo de Grothendieck es la siguiente: Sea R un álgebra de dimensión finita sobre algún campo k o, más generalmente, un anillo artiniano . Luego defina el grupo Grothendieck como el grupo abeliano generado por el conjunto de clases de isomorfismo de módulos R generados finitamente y las siguientes relaciones: Para cada secuencia exacta corta
de R -módulos agregan la relación
Esta definición implica que para cualquier par de finitamente generado R -modules M y N ,, debido a la secuencia exacta corta dividida
Ejemplos de
Sea K un campo. Entonces el grupo Grothendieck es un grupo abeliano generado por símbolos para cualquier dimensión finita K -vector espacio V . De echo, es isomorfo a cuyo generador es el elemento . Aquí, el símbolopara un espacio de vectores K finito , V se define como, La dimensión del espacio vectorial V . Suponga que uno tiene la siguiente secuencia corta exacta de espacios de K -vector.
Dado que cualquier secuencia corta y exacta de espacios vectoriales se divide, se sostiene que . De hecho, para cualesquiera dos espacios vectoriales de dimensión finita V y W se cumple lo siguiente:
Por tanto, la igualdad anterior satisface la condición del símbolo en el grupo Grothendieck.
Tenga en cuenta que cualquier espacio de dos vectores K isomórficos de dimensión finita tiene la misma dimensión. Además, cualquier espacio de dos vectores K de dimensión finita V y W de la misma dimensión son isomorfos entre sí. De hecho, cada espacio n -dimensional finito de K -vectores V es isomorfo a. Por tanto, la observación del párrafo anterior prueba la siguiente ecuación:
Por lo tanto, cada símbolo es generado por el elemento con coeficientes enteros, lo que implica que es isomorfo a con el generador .
De manera más general, dejemos ser el conjunto de números enteros. El grupo Grothendieck es un grupo abeliano generado por símbolos para cualquier grupos abelianos finitamente generado A . Primero se observa que cualquier grupo abeliano finito G satisface que. La siguiente breve secuencia exacta se mantiene, donde el mapaes la multiplicación por n .
La secuencia exacta implica que , por lo que cada grupo cíclico tiene su símbolo igual a 0. Esto a su vez implica que cada grupo abeliano finito G satisface por el teorema fundamental de los grupos abelianos finitos.
Observe que según el teorema fundamental de los grupos abelianos finitamente generados , cada grupo abeliano A es isomorfo a una suma directa de un subgrupo de torsión y un grupo abeliano libre de torsión isomorfo apara algún entero r no negativo , llamado rango de A y denotado por. Definir el símbolo como . Entonces el grupo Grothendieck es isomorfo a con generador De hecho, la observación hecha en el párrafo anterior muestra que todo grupo abeliano A tiene su símbolo lo mismo para el símbolo dónde . Además, el rango del grupo abeliano satisface las condiciones del símbolodel grupo Grothendieck. Supongamos que uno tiene la siguiente secuencia corta exacta de grupos abelianos:
Luego tensando con los números racionales implica la siguiente ecuación.
Dado que lo anterior es una breve secuencia exacta de -espacios vectoriales, la secuencia se divide. Por lo tanto, se tiene la siguiente ecuación.
Por otro lado, también se tiene la siguiente relación. Para obtener más información, consulte: Rango del grupo abeliano .
Por lo tanto, se cumple la siguiente ecuación:
Por tanto, se ha demostrado que es isomorfo a con generador
Propiedad Universal
El grupo Grothendieck satisface una propiedad universal. Uno hace una definición preliminar: una función del conjunto de clases de isomorfismo a un grupo abeliano se llama aditivo si, para cada secuencia exacta, uno tiene Luego, para cualquier función aditiva , hay un homomorfismo de grupo único tal que factores a través de y el mapa que toma cada objeto de al elemento que representa su clase de isomorfismo en Concretamente esto significa que satisface la ecuación por cada finita generada -módulo y es el único homomorfismo de grupo que hace eso.
Ejemplos de funciones aditivas son la función de carácter de la teoría de la representación : Si es una dimensión finita -álgebra, entonces se puede asociar el carácter a cada dimensión finita -módulo se define como el rastro de la-mapa lineal que se da por multiplicación con el elemento en .
Al elegir una base adecuada y escribir las matrices correspondientes en forma triangular de bloques, uno ve fácilmente que las funciones de caracteres son aditivas en el sentido anterior. Por la propiedad universal esto nos da un "carácter universal" tal que .
Si y es el anillo del grupo de un grupo finito entonces este mapa de caracteres incluso da un isomorfismo natural de y el anillo del personaje . En la teoría de la representación modular de grupos finitos puede ser un campo el cierre algebraico del campo finito con p elementos. En este caso el mapa análogamente definido que se asocia a cada-módulo su carácter Brauer es también un isomorfismo naturalen el anillo de los personajes de Brauer. De esta manera, los grupos de Grothendieck aparecen en la teoría de la representación.
Esta propiedad universal también hace el "receptor universal" de las características de Euler generalizadas . En particular, para cada complejo acotado de objetos en
uno tiene un elemento canónico
De hecho, el grupo de Grothendieck se introdujo originalmente para el estudio de las características de Euler.
Grupos de Grothendieck de categorías exactas
El grupo de Grothendieck de una categoría exacta da una generalización común de estos dos conceptos. . En pocas palabras, una categoría exacta es una categoría de aditivo junto con una clase de secuencias cortas se distinguen A → B → C . Las secuencias distinguidas se denominan "secuencias exactas", de ahí el nombre. Los axiomas precisos para esta clase distinguida no importan para la construcción del grupo Grothendieck.
El grupo de Grothendieck se define de la misma manera que antes como el grupo abeliano con un generador [ M ] para cada (clase de isomorfismo de) objeto (s) de la categoría. y una relación
para cada secuencia exacta
- .
Alternativamente y de manera equivalente, se puede definir el grupo Grothendieck usando una propiedad universal: Un mapa de en un grupo abeliano X se llama "aditivo" si para cada secuencia exacta uno tiene ; un grupo abeliano G junto con un mapeo aditivo se llama el grupo de Grothendieck de si cada mapa aditivo factores únicamente a través de φ.
Cada categoría abeliana es una categoría exacta si se usa la interpretación estándar de "exacta". Esto da la noción de un grupo de Grothendieck en la sección anterior si se elige- modifique la categoría de módulos R generados finitamente como. Esto es realmente abeliano porque se asumió que R era artiniano y (por lo tanto, noetheriano) en la sección anterior.
Por otro lado, cada categoría aditiva también es exacta si se declaran exactas aquellas y solo aquellas secuencias que tienen la formacon los morfismos canónicos de inclusión y proyección. Este procedimiento produce el grupo de Grothendieck del monoide conmutativo en el primer sentido (aquí significa el "conjunto" [ignorando todas las cuestiones fundamentales] de clases de isomorfismo en .)
Grupos de Grothendieck de categorías trianguladas
Generalizando aún más, también es posible definir el grupo de Grothendieck para categorías trianguladas . La construcción es esencialmente similar pero usa las relaciones [ X ] - [ Y ] + [ Z ] = 0 siempre que haya un triángulo distinguido X → Y → Z → X [1].
Más ejemplos
- En la categoría abeliana de espacios vectoriales de dimensión finita sobre un campo k , dos espacios vectoriales son isomorfos si y solo si tienen la misma dimensión. Por tanto, para un espacio vectorial V
- Además, para una secuencia exacta
- m = l + n , entonces
- Por lo tanto
- y es isomorfo a y es generado por Finalmente, para un complejo acotado de espacios vectoriales de dimensión finita V *,
- dónde es la característica estándar de Euler definida por
- Para un espacio anillado , se puede considerar la categoría de todas las poleas libres localmente más de X . luego se define como el grupo de Grothendieck de esta categoría exacta y nuevamente esto da un functor.
- Para un espacio anillado , también se puede definir la categoría siendo la categoría de todas las gavillas coherentes en X . Esto incluye el caso especial (si el espacio anillado es un esquema afín ) desiendo la categoría de módulos finitamente generados sobre un anillo noetheriano R . En ambos casos es una categoría abeliana y, a fortiori, una categoría exacta, por lo que se aplica la construcción anterior.
- En el caso de que R sea un álgebra de dimensión finita sobre algún campo, los grupos de Grothendieck (definido mediante secuencias breves y exactas de módulos generados de forma finita) y (definido mediante suma directa de módulos proyectivos generados finitamente) coinciden. De hecho, ambos grupos son isomorfos al grupo abeliano libre generado por las clases de isomorfismo de simples R -modules.
- Hay otro grupo de Grothendieck de un anillo o un espacio anillado que a veces es útil. La categoría en el caso se elige para ser la categoría de todas las poleas casi coherentes en el espacio anillado que se reduce a la categoría de todos los módulos sobre algún anillo R en el caso de esquemas afines.no es un funtor, pero sin embargo contiene información importante.
- Dado que la categoría derivada (acotada) está triangulada, también hay un grupo de Grothendieck para las categorías derivadas. Esto tiene aplicaciones en la teoría de la representación, por ejemplo. Sin embargo, para la categoría ilimitada, el grupo Grothendieck desaparece. Para una categoría derivada de algún álgebra graduada positivamente de dimensión finita compleja, hay una subcategoría en la categoría derivada ilimitada que contiene la categoría abeliana A de módulos graduados de dimensión finita cuyo grupo de Grothendieck es la terminación q -ádica del grupo de Grothendieck de A.
Ver también
- Teoría K topológica
- Secuencia espectral de Atiyah-Hirzebruch para calcular la teoría K topológica
Referencias
- Michael F. Atiyah , K-Theory , (Notas tomadas por DWAnderson, otoño de 1964), publicado en 1967, WA Benjamin Inc., Nueva York.
- Achar, Pramod N .; Stroppel, Catharina (2013), "Completions of Grothendieck groups", Bulletin of the London Mathematical Society , 45 (1): 200–212, arXiv : 1105.2715 , doi : 10.1112 / blms / bds079 , MR 3033967.
- "Grupo Grothendieck" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- "Grupo Grothendieck" . PlanetMath .
- El grupo Grothendieck de paquetes de vectores algebraicos; Cálculos de espacio afín y proyectivo
- Grupo Grothendieck de una curva compleja proyectiva suave