En la teoría de categorías , un tramo , techo o correspondencia es una generalización de la noción de relación entre dos objetos de una categoría . Cuando la categoría tiene todos los retrocesos (y satisface una pequeña cantidad de otras condiciones), los intervalos se pueden considerar como morfismos en una categoría de fracciones .
Definicion formal
Un tramo es un diagrama de tipo es decir, un diagrama de la forma .
Es decir, sea Λ la categoría (-1 ← 0 → +1). A continuación, un lapso en una categoría C es un funtor S : Λ → C . Esto significa que un lapso consta de tres objetos X , Y y Z de C y morfismos f : X → Y y g : X → Z : es dos mapas con común dominio .
Ejemplos de
- Si R es una relación entre los conjuntos X e Y (es decir, un subconjunto de X × Y ), entonces X ← R → Y es un intervalo, donde los mapas son los mapas de proyección. y .
- Cualquier objeto cede el espacio trivial formalmente, el diagrama A ← A → A, donde los mapas son la identidad.
- De manera más general, dejemos ser un morfismo en alguna categoría. Hay un tramo trivial A = A → B; formalmente, el diagrama A ← A → B , donde el mapa de la izquierda es la identidad en A, y el mapa de la derecha es el mapa dado φ .
- Si M es una categoría de modelo , con W el conjunto de equivalencias débiles , entonces los intervalos de la formadonde el morfismo izquierdo está en W, se puede considerar un morfismo generalizado (es decir, donde uno "invierte las equivalencias débiles"). Tenga en cuenta que este no es el punto de vista habitual cuando se trata de categorías de modelos.
Cospans
Un cospan K en una categoría C es un funtor K: Λ op → C ; equivalentemente, un contravariant funtor de Λ a C . Es decir, un diagrama de tipo es decir, un diagrama de la forma .
Por lo tanto, se compone de tres objetos X , Y y Z de C y morfismos f : Y → X y g : Z → X : es dos mapas con común codomain.
El límite de un cospan es un retroceso .
Un ejemplo de un cospan es un cobordism W entre dos colectores de M y N , donde los dos mapas son las inclusiones en W . Nótese que si bien los cobordismos son cospanos, la categoría de cobordismos no es una "categoría cospan": no es la categoría de todos los cospanos en "la categoría de variedades con inclusiones en el límite", sino más bien una subcategoría de la misma, como el requisito de que M y N forman una partición del límite de W es una restricción global.
La categoría nCob de cobordismos de dimensión finita es una categoría compacta como una daga . De manera más general, la categoría Span ( C ) de los tramos en cualquier categoría C con límites finitos también es muy compacta.