En los campos matemáticos de la geometría diferencial y el análisis geométrico , el flujo de Calabi es un flujo geométrico que deforma una métrica de Kähler en una variedad compleja . Precisamente, dado un colector M de Kähler , el caudal de Calabi viene dado por:
- ,
donde g es un mapeo de un intervalo abierto en la colección de todas las métricas de Kähler en M , R g es la curvatura escalar de las métricas de Kähler individuales y los índices α, β corresponden a coordenadas holomórficas arbitrarias z α . Este es un flujo geométrico de cuarto orden, ya que el lado derecho de la ecuación involucra las cuartas derivadas de g .
El flujo de Calabi fue introducido por Eugenio Calabi en 1982 como una sugerencia para la construcción de métricas extremas de Kähler, que también se introdujeron en el mismo documento. Es el flujo de gradiente del funcional Calabi ; Las métricas extremal de Kähler son los puntos críticos del funcional de Calabi.
Piotr Chruściel encontró un teorema de convergencia para el flujo de Calabi en el caso de que M tenga una dimensión compleja igual a uno. Xiuxiong Chen y otros han realizado una serie de estudios adicionales sobre el flujo, aunque a partir de 2020 el flujo aún no se comprende bien.
Referencias
- Eugenio Calabi. Métricas extremas de Kähler. Ana. de Matemáticas. Semental. 102 (1982), págs. 259-290. Seminario de Geometría Diferencial. Universidad de Princeton Prensa, Princeton, Nueva Jersey
- E. Calabi y XX Chen. El espacio de las métricas de Kähler. II. J. Geom diferencial. 61 (2002), núm. 2, 173-193.
- XX Chen y WY He. Sobre el flujo de Calabi. Amer. J. Math. 130 (2008), núm. 2, 539–570.
- Piotr T. Chruściel. Existencia semiglobal y convergencia de soluciones de la ecuación de Robinson-Trautman (Calabi bidimensional). Comm. Matemáticas. Phys. 137 (1991), núm. 2, 289–313.
