En matemáticas , un semigrupo cancelativo (también llamado semigrupo cancelativo ) es un semigrupo que tiene la propiedad de cancelación . [1] En términos intuitivos, la propiedad de cancelación afirma que a partir de una igualdad de la forma a · b = a · c , donde · es una operación binaria , uno puede cancelar el elemento a y deducir la igualdad b = c . En este caso, el elemento que se cancela aparece como los factores de la izquierda de a · by a · c y por lo tanto es un caso de la propiedad de cancelación izquierda . La propiedad de cancelación correcta se puede definir de manera análoga. Ejemplos prototípicos de semigrupos cancelativos son los números enteros positivos bajo suma o multiplicación . Se considera que los semigrupos cancelativos están muy cerca de ser grupos porque la cancelabilidad es una de las condiciones necesarias para que un semigrupo sea integrable .en un grupo. Además, todo semigrupo cancelativo finito es un grupo. Uno de los principales problemas asociados con el estudio de semigrupos cancelativos es determinar las condiciones necesarias y suficientes para incrustar un semigrupo cancelativo en un grupo.
Los orígenes del estudio de los semigrupos cancelativos se remontan al primer artículo sustancial sobre semigrupos ( Suschkewitsch 1928 ). [2]
Sea S un semigrupo. Un elemento a en S se deja cancelable (o se deja cancelable , o tiene la propiedad de cancelación izquierda ) si ab = ac implica b = c para todo b y c en S. Si todos los elementos de S se cancelan por la izquierda, entonces S se denomina semigrupo cancelativo por la izquierda .
Sea S un semigrupo. Un elemento a en S es cancelable por la derecha (o es cancelable por la derecha , o tiene la propiedad de cancelación por la derecha ) si ba = ca implica que b = c para todo b y c en S. Si todo elemento de S es cancelativo por la derecha, entonces S se denomina semigrupo cancelativo por la derecha .
Sea S un semigrupo. Si cada elemento en S es tanto cancelativo por la izquierda como por la derecha, entonces S se llama un semigrupo cancelativo . [3]
Es posible reformular la propiedad característica de un elemento cancelativo en términos de una propiedad mantenida por la correspondiente multiplicación por la izquierda L a : S → S y la multiplicación por la derecha R a : S → S mapas definidos por L a ( b ) = ab y R a ( b ) = ba : un elemento a en S se deja cancelativo si y sólo si L a es inyectiva , un elemento aes cancelativa por la derecha si y solo si R a es inyectiva.