En la teoría de la probabilidad , la desigualdad de Cantelli es una generalización de la desigualdad de Chebyshev en el caso de una sola "cola". [1] [2] [3] La desigualdad establece que
dónde
- es una variable aleatoria de valor real ,
- es la medida de probabilidad ,
- es el valor esperado de ,
- es la varianza de .
Combinando los casos de y da, por
Una versión más débil de la desigualdad de Chebyshev .
Si bien la desigualdad a menudo se atribuye a Francesco Paolo Cantelli, quien la publicó en 1928, [4] se origina en el trabajo de Chebyshev de 1874. [5] La desigualdad de Chebyshev implica que en cualquier muestra de datos o distribución de probabilidad , "casi todos" los valores están cerca a la media en términos del valor absoluto de la diferencia entre los puntos de la muestra de datos y el promedio ponderado de la muestra de datos. La desigualdad de Cantelli (a veces denominada "desigualdad de Chebyshev-Cantelli" o "desigualdad de Chebyshev unilateral") proporciona una forma de estimar cómo los puntos de la muestra de datos son más grandes o más pequeños que su promedio ponderado sin las dos colas de la estimación de valor absoluto. La desigualdad de Chebyshev tiene "versiones de momentos superiores" y "versiones vectoriales" , al igual que la desigualdad de Cantelli.
Prueba
Caso
Dejar ser una variable aleatoria de valor real con varianza finita y expectativa y definir (así que eso y ).
Entonces, para cualquier , tenemos
la última desigualdad es una consecuencia de la desigualdad de Markov . Como lo anterior es válido para cualquier elección de, podemos optar por aplicarlo con el valor que minimice la función . Al diferenciar, esto puede verse como, llevando a
- Si
Caso
Procedemos como antes, escribiendo y para cualquier
utilizando la derivación anterior en . Tomando el complemento del lado izquierdo, obtenemos
- Si
Generalizaciones
Usando más momentos, se pueden mostrar varias desigualdades más fuertes. Él, Zhang y Zhang y mostraron, [6] cuando y :
Ver también
Referencias
- ^ Investigación y práctica en la toma de decisiones con múltiples criterios: actas de la XIV Conferencia Internacional sobre Toma de Decisiones con Múltiples Criterios (MCDM), Charlottesville, Virginia, EE.UU., 8 al 12 de junio de 1998 , editado por YY Haimes y RE Steuer, Springer , 2000, ISBN 3540672664 .
- ^ "Desigualdades de cola y concentración" por Hung Q. Ngo
- ^ "Desigualdades de concentración de medida" por Gábor Lugosi
- ^ Cantelli, FP (1928), "Sui confini della probabilita", Atti del Congresso International del Matematici, Bolonia, 6, 47-5
- ^ Ghosh, BK, 2002. Desigualdades de probabilidad relacionadas con el teorema de Markov. The American Statistician , 56 (3), págs.186-190
- ^ Él es.; Zhang, J .; Zhang, S. (2010). "Límite de probabilidad de pequeña desviación: un enfoque de cuarto momento". Matemáticas de la investigación operativa . 35 (1): 208–232. doi : 10.1287 / moor.1090.0438 . S2CID 11298475 .