En la teoría de conjuntos , la Schröder-Bernstein teorema afirma que, si existen funciones inyectivos f : A → B y g : B → A entre los conjuntos A y B , entonces existe un biyectiva función h : A → B .
En términos de la cardinalidad de los dos conjuntos, esto implica clásicamente que si | A | ≤ | B | y | B | ≤ | A | , luego | A | = | B | ; es decir, A y B son equipotentes . Esta es una característica útil en el orden de números cardinales .
El teorema lleva el nombre de Felix Bernstein y Ernst Schröder . También se conoce como teorema de Cantor-Bernstein , o Cantor-Schröder-Bernstein , en honor a Georg Cantor, quien lo publicó por primera vez sin pruebas.
Prueba
La siguiente prueba se atribuye a Julius König . [1]
Suponga sin pérdida de generalidad que A y B son inconexos . Para cualquier a en A o b en B podemos formar una secuencia única de dos lados de elementos que están alternativamente en A y B , aplicando repetidamente y ir de A a B y y para ir de B a A (donde se defina; las inversas y se entienden como funciones parciales en esta etapa de la prueba.)
Para cualquier particular, una , esta secuencia puede terminar a la izquierda o no, en un punto donde o no está definido.
Por el hecho de que y son funciones inyectivas, cada a en A y b en B está exactamente en una de esas secuencias dentro de la identidad: si un elemento ocurre en dos secuencias, todos los elementos a la izquierda y a la derecha deben ser iguales en ambas, según la definición de las secuencias. Por lo tanto, las secuencias forman una partición de la unión (disjunta) de A y B . Por tanto, basta con producir una biyección entre los elementos de A y B en cada una de las secuencias por separado, como sigue:
Llame a una secuencia de un A-tapón si se detiene en un elemento de A , o un B-tapón si se detiene en un elemento de B . De lo contrario, llámelo doblemente infinito si todos los elementos son distintos o cíclicos si se repite. Vea la imagen para ver ejemplos.
- Para un tapón A , la funciónes una biyección entre sus elementos en A y sus elementos en B .
- Para un tapón B , la funciónes una biyección entre sus elementos en B y sus elementos en A .
- Para una secuencia doblemente infinita o una secuencia cíclica , ya sea o servirá ( se utiliza en la imagen).
Historia
El nombre tradicional "Schröder-Bernstein" se basa en dos pruebas publicadas de forma independiente en 1898. A menudo se agrega Cantor porque estableció el teorema por primera vez en 1887, mientras que el nombre de Schröder a menudo se omite porque su prueba resultó ser defectuosa mientras que el nombre de Richard Dedekind , quien lo demostró por primera vez, no está relacionado con el teorema. Según Bernstein, Cantor había sugerido el nombre de teorema de equivalencia (Äquivalenzsatz). [2]
- 1887 Cantor publica el teorema, sin embargo, sin pruebas. [3] [2]
- 1887 El 11 de julio, Dedekind demuestra el teorema (sin apoyarse en el axioma de elección ) [4] pero ni publica su demostración ni le cuenta a Cantor sobre ella. Ernst Zermelo descubrió la prueba de Dedekind y en 1908 [5] publica su propia prueba basada en la teoría de la cadena del artículo de Dedekind Was sind und was sollen die Zahlen? [2] [6]
- 1895 Cantor establece el teorema en su primer artículo sobre teoría de conjuntos y números transfinitos. Lo obtiene como una consecuencia fácil del orden lineal de los números cardinales. [7] [8] [9] Sin embargo, no pudo probar este último teorema, que se demostró en 1915 como equivalente al axioma de elección de Friedrich Moritz Hartogs . [2] [10]
- 1896 Schröder anuncia una demostración (como corolario de un teorema de Jevons ). [11]
- 1897 Bernstein , un estudiante de 19 años en el Seminario de Cantor, presenta su prueba. [12] [13]
- 1897 Casi simultáneamente, pero de forma independiente, Schröder encuentra una prueba. [12] [13]
- 1897 Después de una visita de Bernstein, Dedekind prueba de forma independiente el teorema por segunda vez.
- 1898 Émile Borel publica la prueba de Bernstein (sin basarse en el axioma de la elección) en su libro sobre funciones. [14] (Comunicado por Cantor en el Congreso Internacional de Matemáticos de 1897 en Zúrich). En el mismo año, la prueba también aparece en la disertación de Bernstein . [15] [2]
- 1898 Schröder publica su prueba [16] que, sin embargo, Alwin Reinhold Korselt demuestra que es defectuosa en 1902 (justo antes de la muerte de Schröder), [17] (confirmada por Schröder), [2] [18] pero se publica el artículo de Korselt solo en 1911.
Ambas pruebas de Dedekind se basan en sus famosas memorias de 1888 Was sind und was sollen die Zahlen? y derivarlo como un corolario de una proposición equivalente al enunciado C en el artículo de Cantor, [7] que dice A ⊆ B ⊆ C y | A | = | C | implica | A | = | B | = | C |. Cantor observó esta propiedad ya en 1882/83 durante sus estudios en teoría de conjuntos y números transfinitos y, por lo tanto, confiaba (implícitamente) en el axioma de elección .
Prerrequisitos
La demostración de Cantor de 1895 se basó, en efecto, en el axioma de elección al inferir el resultado como un corolario del teorema del buen orden . [8] [9] Sin embargo, la demostración de König dada arriba muestra que el resultado también se puede probar sin usar el axioma de elección.
Por otro lado, la prueba de König usa el principio del medio excluido , para hacer el análisis en los casos, por lo que esta prueba no funciona en la teoría de conjuntos constructiva . Más aún, no puede existir prueba alguna a partir de la teoría de conjuntos constructiva solamente (es decir, prescindiendo del principio del medio excluido), ya que el teorema de Schröder-Bernstein implica el principio del medio excluido. [19] Por tanto, los intuicionistas no aceptan el teorema. [20]
También hay una demostración que usa el teorema del punto fijo de Tarski . [21]
Ver también
- Teorema del isomorfismo de Myhill
- Teorema de Schröder-Bernstein para espacios medibles
- Teoremas de Schröder-Bernstein para álgebras de operadores
- Propiedad de Schröder-Bernstein
Notas
- ^ J. König (1906). "Sur la théorie des ensembles" . Comptes Rendus Hebdomadaires des Séances de l'Académie des Sciences . 143 : 110-112.
- ^ a b c d e f Felix Hausdorff (2002), Egbert Brieskorn ; Srishti D. Chatterji; et al. (eds.), Grundzüge der Mengenlehre (1. ed.), Berlín / Heidelberg: Springer, p. 587, ISBN 978-3-540-42224-2- Edición original (1914)
- ^ a b Georg Cantor (1887), "Mitteilungen zur Lehre vom Transfiniten", Zeitschrift für Philosophie und philosophische Kritik , 91 : 81-125
Reimpreso en: Georg Cantor (1932), Adolf Fraenkel (Lebenslauf); Ernst Zermelo (eds.), Gesammelte Abhandlungen mathischen und philosophischen Inhalts , Berlín: Springer, págs. 378–439 Aquí: p.413 abajo - ^ Richard Dedekind (1932), Robert Fricke ; Emmy Noether; Øystein Ore (eds.), Gesammelte mathische Werke , 3 , Braunschweig: Friedr. Vieweg y Sohn, págs. 447–449 (capítulo 62)
- ^ Ernst Zermelo (1908), Felix Klein; Walther von Dyck ; David Hilbert; Otto Blumenthal (eds.), "Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre I" , Mathematische Annalen , 65 (2): 261-281, aquí: p.271-272, doi : 10.1007 / bf01449999 , ISSN 0025-5831
- ^ Richard Dedekind (1888), Was sind und was sollen die Zahlen? (2., sin cambios (1893) ed.), Braunschweig: Friedr. Vieweg y Sohn
- ^ a b Georg Cantor (1932), Adolf Fraenkel (Lebenslauf); Ernst Zermelo (eds.), Gesammelte Abhandlungen mathischen und philosophischen Inhalts , Berlín: Springer, págs. 285 ("Satz B")
- ^ a b Georg Cantor (1895). "Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre (1)" . Mathematische Annalen . 46 (4): 481-512 (Ver teorema "Satz B", p. 484). doi : 10.1007 / bf02124929 .
- ^ a b ( Georg Cantor (1897). "Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre (2)" . Mathematische Annalen . 49 (2): 207–246. doi : 10.1007 / bf01444205 .)
- ^ Friedrich M. Hartogs (1915), Felix Klein; Walther von Dyck; David Hilbert; Otto Blumenthal (eds.), "Über das Problem der Wohlordnung" , Mathematische Annalen , 76 (4): 438–443, doi : 10.1007 / bf01458215 , ISSN 0025-5831
- ^ Ernst Schröder (1896). "Über G. Cantorsche Sätze" . Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung . 5 : 81–82.
- ^ a b Oliver Deiser (2010), Einführung in die Mengenlehre - Die Mengenlehre Georg Cantors und ihre Axiomatisierung durch Ernst Zermelo , Springer-Lehrbuch (tercera edición corregida), Berlín / Heidelberg: Springer, págs. 71, 501, doi : 10.1007 / 978 -3-642-01445-1 , ISBN 978-3-642-01444-4
- ^ a b Patrick Suppes (1972), Axiomatic Set Theory (1. ed.), Nueva York: Dover Publications, págs. 95 y sig. , ISBN 978-0-486-61630-8
- ^ Émile Borel (1898), Leçons sur la théorie des fonctions , París: Gauthier-Villars et fils, págs.103 y sigs.
- ^ Felix Bernstein (1901), Untersuchungen aus der Mengenlehre , Halle a. S .: Buchdruckerei des Waisenhauses
Reimpreso en: Felix Bernstein (1905), Felix Klein; Walther von Dyck; David Hilbert (eds.), "Untersuchungen aus der Mengenlehre" , Mathematische Annalen , 61 (1): 117-155, (Ver teorema "Satz 1" en la p.121), doi : 10.1007 / bf01457734 , ISSN 0025-5831 - ^ Ernst Schröder (1898), Kaiserliche Leopoldino-Carolinische Deutsche Akademie der Naturforscher (ed.), "Ueber zwei Definitionen der Endlichkeit und G. Cantor'sche Sätze" , Nova Acta , 71 (6): 303–376 (prueba: p. 336–344)
- ^ Alwin R. Korselt (1911), Felix Klein; Walther von Dyck; David Hilbert; Otto Blumenthal (eds.), "Über einen Beweis des Äquivalenzsatzes" , Mathematische Annalen , 70 (2): 294–296, doi : 10.1007 / bf01461161 , ISSN 0025-5831
- ↑ Korselt (1911), p. 295
- ^ Pradic, Pierre; Brown, Chad E. (2019). "Cantor-Bernstein implica medio excluido". arXiv : 1904.09193 [ matemáticas.LO ].
- ^ Ettore Carruccio (2006). Matemáticas y lógica en la historia y en el pensamiento contemporáneo . Editores de transacciones. pag. 354. ISBN 978-0-202-30850-0.
- ^ R. Uhl, " Teorema del punto fijo de Tarski ", de MathWorld, un recurso web de Wolfram, creado por Eric W. Weisstein. (Ejemplo 3)
Referencias
- Martin Aigner y Gunter M. Ziegler (1998) Pruebas de THE BOOK , § 3 Análisis: Conjuntos y funciones, libros Springer MR1723092 , quinta edición 2014 MR3288091 , sexta edición 2018 MR3823190
- Hinkis, Arie (2013), Pruebas del teorema de Cantor-Bernstein. Una excursión matemática , Science Networks. Estudios históricos, 45 , Heidelberg: Birkhäuser / Springer, doi : 10.1007 / 978-3-0348-0224-6 , ISBN 978-3-0348-0223-9, MR 3026479
- Searcóid, Míchaél Ó (2013). "Sobre la historia y las matemáticas del teorema de equivalencia". Procedimientos matemáticos de la Real Academia Irlandesa . 113A : 151–68. doi : 10.3311 / PRIA.2013.113.14 . JSTOR 42912521 .
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Teorema de Schröder-Bernstein" . MathWorld .
- Teorema de Cantor-Schroeder-Bernstein en nLab
- Teorema de Cantor-Bernstein en un Semiring de Marcel Crabbé.
- Este artículo incorpora material del artículo de Citizendium " Schröder-Bernstein_theorem ", que tiene la licencia Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported pero no bajo la GFDL .