Cantor conjunto

En matemáticas , el conjunto de Cantor es un conjunto de puntos que se encuentran en un solo segmento de línea que tiene una serie de propiedades poco intuitivas. Fue descubierto en 1874 por Henry John Stephen Smith ^{[1] [2] [3] [4]} e introducido por el matemático alemán Georg Cantor en 1883. ^{[5] [6]}

Al considerar este conjunto, Cantor y otros ayudaron a sentar las bases de la topología moderna de conjuntos de puntos . Aunque el propio Cantor definió el conjunto de una manera general y abstracta, la construcción moderna más común es el conjunto ternario de Cantor , construido quitando el tercio medio de un segmento de línea y luego repitiendo el proceso con los segmentos más cortos restantes. El mismo Cantor mencionó la construcción ternaria solo de pasada, como ejemplo de una idea más general, la de un conjunto perfecto que no es denso en ninguna parte .

El conjunto ternario de Cantor se crea eliminando iterativamente el tercio medio abierto de un conjunto de segmentos de línea. Uno comienza eliminando el tercio medio abierta del intervalo , dejando dos segmentos de línea: . A continuación, el tercio medio abierto de cada uno de estos segmentos restantes se elimina, dejando cuatro segmentos de línea: . El conjunto ternario de Cantor contiene todos los puntos del intervalo que no se eliminan en ningún paso de este proceso infinito . Los mismos hechos se pueden describir de forma recursiva estableciendo${\ Displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ textstyle \ left ({\ frac {1} {3}}, {\ frac {2} {3}} \ right)}$ ${\ Displaystyle \ textstyle \ left [0,1 \ right]}$${\ textstyle \ left [0, {\ frac {1} {3}} \ right] \ cup \ left [{\ frac {2} {3}}, 1 \ right]}$${\ textstyle \ left [0, {\ frac {1} {9}} \ right] \ cup \ left [{\ frac {2} {9}}, {\ frac {1} {3}} \ right] \ cup \ left [{\ frac {2} {3}}, {\ frac {7} {9}} \ right] \ cup \ left [{\ frac {8} {9}}, 1 \ right]}$${\ Displaystyle [0,1]}$

para , para que${\ Displaystyle n \ geq 1}$

Acercar el conjunto de Cantor. Cada punto del conjunto está representado aquí por una línea vertical.

Progresión de recursión de cubos de Cantor hacia polvo de Cantor

Polvo de Cantor (2D)

Polvo de Cantor (3D)

Capital de columna con patrón que evoca el conjunto de Cantor, pero expresado en binario en lugar de ternario. Grabado de Île de Philae de Description d'Égypte por Jean-Baptiste Prosper Jollois y Édouard Devilliers, Imprimerie Impériale, París, 1809-1828