En matemáticas , un cubo de Cantor es un grupo topológico de la forma {0, 1} A para algún conjunto índice A . Sus estructuras algebraicas y topológicas son el producto directo de grupo y la topología del producto sobre el grupo cíclico de orden 2 (que a su vez recibe la topología discreta ).
Si A es un conjunto infinito numerable , el cubo de Cantor correspondiente es un espacio de Cantor . Los cubos de Cantor son especiales entre los grupos compactos porque cada grupo compacto es una imagen continua de uno, aunque generalmente no es una imagen homomórfica. (La literatura puede no ser clara, así que por seguridad, asuma que todos los espacios son Hausdorff ).
Topológicamente, cualquier cubo de Cantor es:
- homogénea ;
- compactar ;
- dimensión cero ;
- AE (0), un extensor absoluto para espacios compactos de dimensión cero. (Cada mapa de un subconjunto cerrado de dicho espacio a un cubo de Cantor se extiende a todo el espacio).
Según un teorema de Schepin, estas cuatro propiedades caracterizan a los cubos de Cantor; cualquier espacio que satisfaga las propiedades es homeomorfo a un cubo de Cantor.
De hecho, cada espacio AE (0) es la imagen continua de un cubo de Cantor, y con un poco de esfuerzo se puede demostrar que todo grupo compacto es AE (0). De ello se deduce que cada grupo compacto de dimensión cero es homeomorfo a un cubo de Cantor, y cada grupo compacto es una imagen continua de un cubo de Cantor.
Referencias
- Todorcevic, Stevo (1997). Temas de topología . ISBN 3-540-62611-5. CS1 maint: parámetro desalentado ( enlace )
- AA Mal'tsev (2001) [1994], "Colon" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press