En topología general , un subconjunto de un espacio topológico es perfecto si está cerrado y no tiene puntos aislados . Equivalentemente: el conjunto es perfecto si , dónde denota el conjunto de todos los puntos límite de, también conocido como el conjunto derivado de.
En un conjunto perfecto, cada punto puede aproximarse arbitrariamente bien por otros puntos del conjunto: dado cualquier punto de y cualquier vecindad del punto, hay otro punto deque se encuentra dentro del barrio. Además, cualquier punto del espacio que pueda ser tan aproximado por puntos de pertenece a .
Tenga en cuenta que el término espacio perfecto también se usa, de manera incompatible, para referirse a otras propiedades de un espacio topológico, como ser un espacio G δ .
Ejemplos de
Ejemplos de subconjuntos perfectos de la línea real son: el conjunto vacío , todos los intervalos cerrados , la línea real en sí y el conjunto de Cantor . Este último es digno de mención porque está totalmente desconectado .
Conexión con otras propiedades topológicas
Cada espacio topológico se puede escribir de una manera única como la unión disjunta de un conjunto perfecto y un conjunto disperso . [1] [2]
Cantor demostró que cada subconjunto cerrado de la línea real se puede escribir de forma única como la unión disjunta de un conjunto perfecto y un conjunto contable . Esto también es cierto de manera más general para todos los subconjuntos cerrados de espacios polacos , en cuyo caso el teorema se conoce como el teorema de Cantor-Bendixson .
Cantor también mostró que cada subconjunto perfecto no vacío de la línea real tiene cardinalidad , la cardinalidad del continuo . Estos resultados se amplían en la teoría descriptiva de conjuntos de la siguiente manera:
- Si X es un espacio métrico completo sin puntos aislados, entonces el Cantor espacio 2 ω puede ser continuamente embebido en X . Por tanto, X tiene cardinalidad al menos. Si X es un espacio métrico completo separable sin puntos aislados, la cardinalidad de X es exactamente.
- Si X es un espacio de Hausdorff localmente compacto sin puntos aislados, hay una función inyectiva (no necesariamente continua) desde el espacio de Cantor hasta X , por lo que X tiene cardinalidad al menos.
Ver también
Notas
- ^ Engelking, problema 1.7.10, p. 59
- ^ https://math.stackexchange.com/questions/3856152
Referencias
- Engelking, Ryszard, Topología general , Heldermann Verlag Berlín, 1989. ISBN 3-88538-006-4
- Kechris, AS (1995), Teoría clásica de conjuntos descriptivos , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 3540943749
- Levy, A. (1979), Teoría básica de conjuntos , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag
- editado por Elliott Pearl. (2007), Pearl, Elliott (ed.), Problemas abiertos en topología. II , Elsevier , ISBN 978-0-444-52208-5, MR 2367385CS1 maint: texto adicional: lista de autores ( enlace )