Una solución de Carathéodory- π es una solución generalizada de una ecuación diferencial ordinaria . El concepto se debe a I. Michael Ross y se llama así en honor a Constantin Carathéodory . [1] Su practicidad fue demostrada en 2008 por Ross et al. [2] en una implementación de laboratorio del concepto. El concepto es más útil para implementar controles de retroalimentación , particularmente aquellos generados por una aplicación de la teoría de control óptimo pseudoespectral de Ross . [3]
Fondo matemático
Una solución Carathéodory- π aborda el problema fundamental de definir una solución a una ecuación diferencial,
cuando g ( x , t ) no es diferenciable con respecto ax . Tales problemas surgen de forma bastante natural [4] al definir el significado de una solución a una ecuación diferencial controlada,
cuando el control, u , viene dado por una ley de retroalimentación,
donde la función k ( x , t ) puede no ser uniforme con respecto ax . Los controles de retroalimentación no fluidos surgen con bastante frecuencia en el estudio de los controles de retroalimentación óptimos y han sido objeto de un extenso estudio que se remonta a la década de 1960. [5]
El concepto de Ross
Una ecuación diferencial ordinaria,
es equivalente a una ecuación diferencial controlada,
con control de retroalimentación, . Luego, dado un problema de valor inicial, Ross divide el intervalo de tiempo a una cuadrícula, con . De a , generar una trayectoria de control,
a la ecuación diferencial controlada,
Existe una solución de Carathéodory para la ecuación anterior porquetiene discontinuidades como máximo en t , la variable independiente. A, colocar y reinicie el sistema con ,
Continuando de esta manera, los segmentos Carathéodory se cosen para formar una solución Carathéodory- π .
Aplicaciones de ingeniería
Se puede aplicar una solución Carathéodory- π para la estabilización práctica de un sistema de control. [6] [7] Se ha utilizado para estabilizar un péndulo invertido, [6] controlar y optimizar el movimiento de los robots, [7] [8] desplazar y controlar la nave espacial NPSAT1 [3] y producir comandos de guía para empuje bajo misiones espaciales. [2]
Ver también
Referencias
- ^ Biles, DC y Binding, PA, "Sobre las condiciones de Carathéodory para el problema del valor inicial", Actas de la American Mathematical Society, Vol. 125, No. 5, mayo de 1997, págs. 1371-1376.
- ^ a b Ross, IM, Sekhavat, P., Fleming, A. y Gong, Q., "Control de retroalimentación óptima: fundamentos, ejemplos y resultados experimentales para un nuevo enfoque", Revista de orientación, control y dinámica, vol. 31, núm. 2, págs. 307–321, 2008.
- ^ a b Ross, IM y Karpenko, M. "Una revisión del control óptimo pseudoespectral: de la teoría al vuelo", Revisiones anuales en control, Vol.36, No.2, pp. 182-197, 2012.
- ^ Clarke, FH, Ledyaev, YS, Stern, RJ y Wolenski, PR, Teoría de control y análisis no uniforme, Springer-Verlag, Nueva York, 1998.
- ^ Pontryagin, LS, Boltyanskii, VG, Gramkrelidze, RV y Mishchenko, EF, La teoría matemática de los procesos óptimos, Wiley, Nueva York, 1962.
- ^ a b Ross, IM, Gong, Q., Fahroo, F. y Kang, W., "Estabilización práctica a través del control óptimo en tiempo real" , Conferencia de control estadounidense de 2006, Minneapolis, MN, 14-16 de junio de 2006.
- ^ a b Martin, SC, Hillier, N. y Corke, P., "Aplicación práctica de la optimización pseudoespectral a la planificación de rutas de robots", Actas de la Conferencia Australasiana de 2010 sobre robótica y automatización, Brisbane, Australia, 1-3 de diciembre de 2010 .
- ^ Björkenstam, S., Gleeson, D., Bohlin, R. "Eficiencia energética y movimiento libre de colisiones de robots industriales con control óptimo", Actas de la novena conferencia internacional IEEE sobre ciencia e ingeniería de automatización (CASO 2013), Madison, Wisconsin , Agosto 2013