Número de Pell

No confundir con el número de Bell .

Los lados de los cuadrados utilizados para construir una espiral plateada son los números de Pell.

En matemáticas , los números de Pell son una secuencia infinita de números enteros , conocidos desde la antigüedad, que comprenden los denominadores de las aproximaciones racionales más cercanas a la raíz cuadrada de 2 . Esta secuencia de aproximaciones comienza1/1, 3/2, 7/5, 17/12, y 41/29, entonces la secuencia de números Pell comienza con 1, 2, 5, 12 y 29. Los numeradores de la misma secuencia de aproximaciones son la mitad de los números Pell acompañantes o números Pell-Lucas ; estos números forman una segunda secuencia infinita que comienza con 2, 6, 14, 34 y 82.

Tanto los números Pell como los números Pell acompañantes pueden calcularse mediante una relación de recurrencia similar a la de los números de Fibonacci , y ambas secuencias de números crecen exponencialmente , proporcionalmente a las potencias de la proporción de plata 1 +  √ 2 . Además de usarse para aproximar la raíz cuadrada de dos, los números de Pell se pueden usar para encontrar números triangulares cuadrados , para construir aproximaciones enteras al triángulo isósceles recto y para resolver ciertos problemas de enumeración combinatoria . ^[1]

Al igual que con la ecuación de Pell , el nombre de los números de Pell proviene de la atribución errónea de Leonhard Euler de la ecuación y los números derivados de ella a John Pell . Los números de Pell-Lucas también llevan el nombre de Édouard Lucas , quien estudió secuencias definidas por recurrencias de este tipo; los números de Pell y su compañero Pell son secuencias de Lucas .

Números de Pell

Los números de Pell están definidos por la relación de recurrencia :

${\displaystyle P_{n}={\begin{cases}0&{\mbox{if }}n=0;\\1&{\mbox{if }}n=1;\\2P_{n-1}+P_{n-2}&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}}$

En palabras, la secuencia de números Pell comienza con 0 y 1, y luego cada número Pell es la suma del doble del número Pell anterior y el número Pell anterior. Los primeros términos de la secuencia son

0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378, 5741, 13860,… (secuencia A000129 en la OEIS ).

Los números de Pell también se pueden expresar mediante la fórmula de forma cerrada

${\displaystyle P_{n}={\frac {\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{n}-\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{n}}{2{\sqrt {2}}}}.}$

Para valores grandes de n , el término (1 + √ 2 ) ⁿ domina esta expresión, por lo que los números de Pell son aproximadamente proporcionales a las potencias de la proporción de plata 1 + √ 2 , análoga a la tasa de crecimiento de los números de Fibonacci como potencias del oro. relación .

Es posible una tercera definición, a partir de la fórmula matricial

${\displaystyle {\begin{pmatrix}P_{n+1}&P_{n}\\P_{n}&P_{n-1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&1\\1&0\end{pmatrix}}^{n}.}$

Se pueden derivar o probar muchas identidades a partir de estas definiciones; por ejemplo, una identidad análoga a la identidad de Cassini para los números de Fibonacci,

${\displaystyle P_{n+1}P_{n-1}-P_{n}^{2}=(-1)^{n},}$

es una consecuencia inmediata de la fórmula matricial (que se obtiene al considerar los determinantes de las matrices en los lados izquierdo y derecho de la fórmula matricial). ^[2]

Aproximación a la raíz cuadrada de dos

Aproximaciones racionales a octágonos regulares , con coordenadas derivadas de los números de Pell.

Los números de Pell surgen históricamente y más notablemente en la aproximación racional a √ 2 . Si dos grandes números enteros x e y forman una solución a la ecuación de Pell

${\displaystyle x^{2}-2y^{2}=\pm 1,}$

entonces su proporción X/yproporciona una aproximación cercana a √ 2 . La secuencia de aproximaciones de esta forma es

${\displaystyle {\frac {1}{1}},{\frac {3}{2}},{\frac {7}{5}},{\frac {17}{12}},{\frac {41}{29}},{\frac {99}{70}},\dots }$

donde el denominador de cada fracción es un número Pell y el numerador es la suma de un número Pell y su predecesor en la secuencia. Es decir, las soluciones tienen la forma

${\displaystyle {\frac {P_{n-1}+P_{n}}{P_{n}}}.}$

La aproximación

${\displaystyle {\sqrt {2}}\approx {\frac {577}{408}}}$

de este tipo era conocido por los matemáticos indios en el siglo III o IV a. C. ^[3] Los matemáticos griegos del siglo V a. C. también conocían esta secuencia de aproximaciones: ^[4] Platón se refiere a los numeradores como diámetros racionales . ^[5] En el siglo II d. C., Theon de Esmirna usó el término números de lado y diámetro para describir los denominadores y numeradores de esta secuencia. ^[6]

Estas aproximaciones pueden derivarse de la expansión fraccionaria continua de :${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {2}}}$

${\displaystyle {\sqrt {2}}=1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+\ddots \,}}}}}}}}}}.}$

Truncar esta expansión a cualquier número de términos produce una de las aproximaciones basadas en números de Pell en esta secuencia; por ejemplo,

${\displaystyle {\frac {577}{408}}=1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2}}}}}}}}}}}}}}.}$

Como describe Knuth (1994), el hecho de que los números de Pell se aproximen a √ 2 permite que se utilicen para realizar aproximaciones racionales precisas a un octágono regular con coordenadas de vértice (± P _i , ± P _{i +1} ) y (± P _{i +1} , ± P _i ) . Todos los vértices están igualmente distantes del origen y forman ángulos casi uniformes alrededor del origen. Alternativamente, los puntos , y forman octágonos aproximados en los que los vértices están casi igualmente distantes del origen y forman ángulos uniformes.${\displaystyle (\pm (P_{i}+P_{i-1}),0)}$${\displaystyle (0,\pm (P_{i}+P_{i-1}))}$${\displaystyle (\pm P_{i},\pm P_{i})}$

Primas y cuadrados

Un número primo de Pell es un número de Pell que es primo . Los primeros números primos de Pell son

2, 5, 29, 5741, 33461, 44560482149, 1746860020068409, 68480406462161287469, ... (secuencia A086383 en la OEIS ).

Los índices de estos números primos dentro de la secuencia de todos los números de Pell son

2, 3, 5, 11, 13, 29, 41, 53, 59, 89, 97, 101, 167, 181, 191, 523, 929, 1217, 1301, 1361, 2087, 2273, 2393, 8093, .. . (secuencia A096650 en la OEIS )

Estos índices son todos ellos mismos primos. Al igual que con los números de Fibonacci, un número Pell P _n solo puede ser primo si n en sí mismo es primo, porque si d es un divisor de n, entonces P _d es un divisor de P _n .

Los únicos números Pell que son cuadrados, cubos o cualquier potencia superior de un entero son 0, 1 y 169 = 13 ² . ^[7]

Sin embargo, a pesar de tener tan pocos cuadrados u otros poderes, los números Pell tienen una conexión cercana con los números triangulares cuadrados . ^[8] Específicamente, estos números surgen de la siguiente identidad de los números Pell:

${\displaystyle {\bigl (}\left(P_{k-1}+P_{k}\right)\cdot P_{k}{\bigr )}^{2}={\frac {\left(P_{k-1}+P_{k}\right)^{2}\cdot \left(\left(P_{k-1}+P_{k}\right)^{2}-(-1)^{k}\right)}{2}}.}$

El lado izquierdo de esta identidad describe un número cuadrado , mientras que el lado derecho describe un número triangular , por lo que el resultado es un número triangular cuadrado.

Santana y Díaz-Barrero (2006) demostraron otra identidad relacionando números de Pell con cuadrados y mostrando que la suma de los números de Pell hasta P _{4 n +1} es siempre un cuadrado:

${\displaystyle \sum _{i=0}^{4n+1}P_{i}=\left(\sum _{r=0}^{n}2^{r}{2n+1 \choose 2r}\right)^{2}=\left(P_{2n}+P_{2n+1}\right)^{2}.}$

Por ejemplo, la suma de los números de Pell hasta P ₅ , 0 + 1 + 2 + 5 + 12 + 29 = 49 , es el cuadrado de P ₂ + P ₃ = 2 + 5 = 7 . Los números P _{2 n} + P _{2 n +1} forman las raíces cuadradas de estas sumas,

1, 7, 41, 239, 1393, 8119, 47321,… (secuencia A002315 en la OEIS ),

se conocen como números de Newman – Shanks – Williams (NSW) .

Triples pitagóricos

Triángulos rectángulos enteros con catetos casi iguales, derivados de los números de Pell.

Si un triángulo rectángulo tiene longitudes de lado enteras a , b , c (que necesariamente satisface el teorema de Pitágoras a ² + b ² = c ² ), entonces ( a , b , c ) se conoce como triple de Pitágoras . Como describe Martin (1875), los números de Pell se pueden utilizar para formar triples pitagóricos en la que una y b son una unidad aparte, que corresponde a los triángulos rectángulos que son casi isósceles. Cada uno de esos triples tiene la forma

${\displaystyle \left(2P_{n}P_{n+1},P_{n+1}^{2}-P_{n}^{2},P_{n+1}^{2}+P_{n}^{2}=P_{2n+1}\right).}$

La secuencia de triples pitagóricos formados de esta manera es

(4,3,5), (20,21,29), (120,119,169), (696,697,985),…

Números de Pell-Lucas

Los números de Pell complementarios o los números de Pell-Lucas se definen mediante la relación de recurrencia

${\displaystyle Q_{n}={\begin{cases}2&{\mbox{if }}n=0;\\2&{\mbox{if }}n=1;\\2Q_{n-1}+Q_{n-2}&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}}$

En palabras: los dos primeros números de la secuencia son 2, y cada número sucesivo se forma sumando el doble del número Pell-Lucas anterior al número Pell-Lucas anterior, o de manera equivalente, agregando el siguiente número Pell al anterior. Número de Pell: por lo tanto, 82 es el compañero de 29 y 82 = 2 × 34 + 14 = 70 + 12. Los primeros términos de la secuencia son (secuencia A002203 en la OEIS ): 2 , 2 , 6 , 14 , 34 , 82 , 198 , 478 ,…

Como la relación entre los números de Fibonacci y los números de Lucas ,

${\displaystyle Q_{n}={\frac {P_{2n}}{P_{n}}}}$

para todos los números naturales n .

Los números de Pell complementarios se pueden expresar mediante la fórmula de forma cerrada

${\displaystyle Q_{n}=\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{n}+\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{n}.}$

Todos estos números son pares; cada uno de esos números es el doble del numerador en una de las aproximaciones racionales discutidas anteriormente.${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {2}}}$

Como la secuencia de Lucas, si un número de Pell-Lucas 1/2Q _n es primo, es necesario que n sea primo o una potencia de 2. Los primos de Pell-Lucas son

3, 7, 17, 41, 239, 577,… (secuencia A086395 en la OEIS ).

Para estos n son

2, 3, 4, 5, 7, 8, 16, 19, 29, 47, 59, 163, 257, 421,… (secuencia A099088 en la OEIS ).

Cálculos y conexiones

La siguiente tabla muestra las primeras potencias de la proporción de plata δ = δ _S = 1 +  √ 2 y su conjugado δ = 1 -  √ 2 .

norte	(1 + √ 2 ) n	(1 - √ 2 ) n
0	1 + 0 √ 2 = 1	1 - 0 √ 2 = 1
1	1 + 1 √ 2 = 2,41421…	1 - 1 √ 2 = −0,41421…
2	3 + 2 √ 2 = 5,82842…	3 - 2 √ 2 = 0,17157…
3	7 + 5 √ 2 = 14.07106…	7 - 5 √ 2 = −0,07106…
4	17 + 12 √ 2 = 33,97056…	17 - 12 √ 2 = 0,02943…
5	41 + 29 √ 2 = 82.01219…	41 - 29 √ 2 = −0,01219…
6	99 + 70 √ 2 = 197,9949…	99 - 70 √ 2 = 0,0050…
7	239 + 169 √ 2 = 478,00209…	239-169 √ 2 = -0,00209 ...
8	577 + 408 √ 2 = 1153,99913…	577 - 408 √ 2 = 0,00086…
9	1393 + 985 √ 2 = 2786.00035…	1393 - 985 √ 2 = −0,00035…
10	3363 + 2378 √ 2 = 6725,99985…	3363 - 2378 √ 2 = 0,00014…
11	8119 + 5741 √ 2 = 16238.00006…	8119 - 5741 √ 2 = −0,00006…
12	19601 + 13860 √ 2 = 39201,99997…	19601-13860 √ 2 = 0,00002…

Los coeficientes son los números de Pell medio acompañantes H _n y los números de Pell P _n que son las soluciones (no negativas) de H ² - 2 P ² = ± 1 . Un número triangular cuadrado es un número

${\displaystyle N={\frac {t(t+1)}{2}}=s^{2},}$

que es tanto el t º triangular número y la s ésimo número cuadrado. A cerca-isósceles de Pitágoras de triple es una solución entera a un ² + b ² = c ² , donde un + 1 = b .

La siguiente tabla muestra que dividir el número impar H _n en mitades casi iguales da un número triangular cuadrado cuando n es par y un triple pitagórico casi isósceles cuando n es impar. Todas las soluciones surgen de esta manera.

norte	H n	P n	t	t + 1	s	a	B	C
0	1	0	0	1	0
1	1	1				0	1	1
2	3	2	1	2	1
3	7	5				3	4	5
4	17	12	8	9	6
5	41	29				20	21	29
6	99	70	49	50	35
7	239	169				119	120	169
8	577	408	288	289	204
9	1393	985				696	697	985
10	3363	2378	1681	1682	1189
11	8119	5741				4059	4060	5741
12	19601	13860	9800	9801	6930

Definiciones

Los números de Pell semi-compañeros H _n y los números de Pell P _n pueden derivarse de varias formas fácilmente equivalentes.

Ascendiendo a los poderes

${\displaystyle \left(1+{\sqrt {2}}\right)^{n}=H_{n}+P_{n}{\sqrt {2}}}$

${\displaystyle \left(1-{\sqrt {2}}\right)^{n}=H_{n}-P_{n}{\sqrt {2}}.}$

De esto se deduce que existen formas cerradas :

${\displaystyle H_{n}={\frac {\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{n}+\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{n}}{2}}.}$

y

${\displaystyle P_{n}{\sqrt {2}}={\frac {\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{n}-\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{n}}{2}}.}$

Recurrencias emparejadas

${\displaystyle H_{n}={\begin{cases}1&{\mbox{if }}n=0;\\H_{n-1}+2P_{n-1}&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}}$

${\displaystyle P_{n}={\begin{cases}0&{\mbox{if }}n=0;\\H_{n-1}+P_{n-1}&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}}$

Formulaciones matriciales

${\displaystyle {\begin{pmatrix}H_{n}\\P_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}H_{n-1}\\P_{n-1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}}^{n}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}.}$

Entonces

${\displaystyle {\begin{pmatrix}H_{n}&2P_{n}\\P_{n}&H_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}}^{n}.}$

Aproximaciones

La diferencia entre H _n y P _n √ 2 es

${\displaystyle \left(1-{\sqrt {2}}\right)^{n}\approx (-0.41421)^{n},}$

que va rápidamente a cero. Entonces

${\displaystyle \left(1+{\sqrt {2}}\right)^{n}=H_{n}+P_{n}{\sqrt {2}}\,}$

está extremadamente cerca de 2 H _n .

De esta última observación se deduce que las razones enteras H _n/P _nacercarse rápidamente √ 2 ; yH _n/H _{n −1} y P _n/P _{n −1}acercarse rápidamente a 1 +  √ 2 .

H ²  - 2 P ²  = ± 1

Dado que √ 2 es irracional, no podemos tenerH/PAG =  √ 2 , es decir,

${\displaystyle {\frac {H^{2}}{P^{2}}}={\frac {2P^{2}}{P^{2}}}.}$

Lo mejor que podemos lograr es

${\displaystyle {\frac {H^{2}}{P^{2}}}={\frac {2P^{2}-1}{P^{2}}}\quad {\mbox{or}}\quad {\frac {H^{2}}{P^{2}}}={\frac {2P^{2}+1}{P^{2}}}.}$

Las soluciones (no negativas) de H ² - 2 P ² = 1 son exactamente los pares ( H _n , P _n ) con n pares, y las soluciones de H ² - 2 P ² = −1 son exactamente los pares ( H _n , P _n ) con n impar. Para ver esto, tenga en cuenta primero que

${\displaystyle H_{n+1}^{2}-2P_{n+1}^{2}=\left(H_{n}+2P_{n}\right)^{2}-2\left(H_{n}+P_{n}\right)^{2}=-\left(H_{n}^{2}-2P_{n}^{2}\right),}$

de modo que estas diferencias, comenzando con H²
₀- 2 P²
₀= 1 , son alternativamente 1 y −1. Luego observe que toda solución positiva proviene de esta manera de una solución con números enteros más pequeños, ya que

${\displaystyle (2P-H)^{2}-2(H-P)^{2}=-\left(H^{2}-2P^{2}\right).}$

La solución más pequeña también tiene números enteros positivos, con la única excepción: H = P = 1 que proviene de H ₀  = 1 y P ₀  = 0.

Números triangulares cuadrados

Artículo principal: Número triangular cuadrado

La ecuación requerida

${\displaystyle {\frac {t(t+1)}{2}}=s^{2}\,}$

es equivalente a: que se convierte en H ² = 2 P ² + 1 con las sustituciones H  = 2 t  + 1 y P  = 2 s . Por tanto, la n- ésima solución es${\displaystyle 4t^{2}+4t+1=8s^{2}+1,}$

${\displaystyle t_{n}={\frac {H_{2n}-1}{2}}\quad {\mbox{and}}\quad s_{n}={\frac {P_{2n}}{2}}.}$

Observe que t y t  + 1 son primos relativos, de modo quet ( t + 1)/2 =  s ² ocurre exactamente cuando son números enteros adyacentes, uno un cuadrado H ² y el otro dos veces un cuadrado 2 P ² . Como conocemos todas las soluciones de esa ecuación, también tenemos

${\displaystyle t_{n}={\begin{cases}2P_{n}^{2}&{\mbox{if }}n{\mbox{ is even}};\\H_{n}^{2}&{\mbox{if }}n{\mbox{ is odd.}}\end{cases}}}$

y ${\displaystyle s_{n}=H_{n}P_{n}.}$

Esta expresión alternativa se ve en la siguiente tabla.

norte	H n	P n	t	t + 1	s	a	B	C
0	1	0
1	1	1	1	2	1	3	4	5
2	3	2	8	9	6	20	21	29
3	7	5	49	50	35	119	120	169
4	17	12	288	289	204	696	697	985
5	41	29	1681	1682	1189	4059	4060	5741
6	99	70	9800	9801	6930	23660	23661	33461

Triples pitagóricos

La igualdad c ² = a ² + ( a + 1) ² = 2 a ² + 2 a + 1 ocurre exactamente cuando 2 c ² = 4 a ² + 4 a + 2 que se convierte en 2 P ² = H ² + 1 con el sustituciones H = 2 a + 1 y P = c . Por tanto, la n- ésima solución es a _n =H _{2 n +1} - 1/2y c _n = P _{2 n 1} .

La tabla anterior muestra que, en un orden u otro, a _n y b _n = a _n + 1 son H _n H _{n +1} y 2 P _n P _{n +1} mientras que c _n = H _{n +1} P _n + P _{n +1} H _n .

Notas

1. Por ejemplo, Sellers (2002) demuestra que el número de emparejamientos perfectos en el producto cartesiano de un gráfico de trayectoria y el gráfico K ₄  -  e se puede calcular como el producto de un número de Pell con el número de Fibonacci correspondiente.
2. Para la fórmula matricial y sus consecuencias, véanse Ercolano (1979) y Kilic y Tasci (2005). Horadam (1971) y Bicknell (1975) enumeran identidades adicionales para los números de Pell.
3. Según se registra en los Shulba Sutras ; véase, por ejemplo, Dutka (1986), que cita a Thibaut (1875) para esta información.
4. Véase Knorr (1976) para la fecha del siglo V, que coincide conla afirmación de Proclo de que los pitagóricos descubrieron los números de lado y diámetro. Para una exploración más detallada del conocimiento griego posterior de estos números, véase Thompson (1929), Vedova (1951), Ridenhour (1986), Knorr (1998) y Filep (1999).
5. Por ejemplo, como observan varias de las referencias de la nota anterior, en Platón's Republic hay una referencia al "diámetro racional de 5", por lo que Platón quiere decir 7, el numerador de la aproximación7/5 de los cuales 5 es el denominador.
6. Heath, Sir Thomas Little (1921), Historia de las matemáticas griegas: de Tales a Euclides , Publicaciones de Courier Dover, p. 112, ISBN 9780486240732.
7. Pethő (1992); Cohn (1996). Aunque los números de Fibonacci se definen por una recurrencia muy similar a los números de Pell, Cohn escribe que un resultado análogo para los números de Fibonacci parece mucho más difícil de probar. (Sin embargo, esto fue probado en 2006 por Bugeaud et al.)
8. Sesskin (1962). Consulte elartículo del número triangular cuadrado para obtener una derivación más detallada.

Referencias

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Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Número Pell" . MathWorld .
• Secuencia OEIS A001333 (Numeradores de fracciones continuas convergentes a sqrt (2)): los numeradores de la misma secuencia de aproximaciones