Invariantes de Carminati-McLenaghan

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En relatividad general , las invariantes de Carminati-McLenaghan o escalares CM son un conjunto de 16 invariantes de curvatura escalar para el tensor de Riemann . Este conjunto suele complementarse con al menos dos invariantes adicionales.

Los invariantes CM consisten en 6 escalares reales más 5 escalares complejos, haciendo un total de 16 invariantes. Se definen en términos del tensor de Weyl y su dual derecho (o izquierdo) , el tensor de Ricci y el tensor de Ricci sin trazas.${\displaystyle C_{abcd}}$${\displaystyle {{}^{\star }C}_{ijkl}=(1/2)\epsilon _{klmn}C_{ij}{}^{mn}}$ ${\displaystyle R_{ab}}$

A continuación, puede ser útil señalar que si consideramos una matriz, entonces es el cuadrado de esta matriz, por lo que la traza del cuadrado es , y así sucesivamente. ${\ estilo de visualización {S^{a}}_{b}}$${\displaystyle {S^{a}}_{m}\,{S^{m}}_{b}}$${\displaystyle {S^{a}}_{b}\,{S^{b}}_{a}}$

Todos pueden expresarse directamente en términos de los espinores de Ricci y los espinores de Weyl , utilizando el formalismo de Newman-Penrose ; ver el enlace de abajo.

comprenden un conjunto completo de invariantes para el tensor de Riemann. En el caso de soluciones de vacío, soluciones de electrovacío y soluciones fluidas perfectas , los escalares CM comprenden un conjunto completo. Es posible que se requieran invariantes adicionales para espaciostiempos más generales; determinar el número exacto (y posibles syzygies entre los diversos invariantes) es un problema abierto.

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