En geometría riemanniana y geometría pseudo-riemanniana , las invariantes de curvatura son cantidades escalares construidas a partir de tensores que representan la curvatura . Estos tensores suelen ser el tensor de Riemann , el tensor de Weyl , el tensor de Ricci y tensores formados a partir de estos mediante las operaciones de tomar contracciones duales y diferenciaciones covariantes .
Los invariantes que se consideran con más frecuencia son los invariantes polinómicos . Estos son polinomios construidos a partir de contracciones como las trazas. Los ejemplos de segundo grado se denominan invariantes cuadráticos , y así sucesivamente. Las invariantes construidas utilizando derivadas covariantes hasta el orden n se denominan invariantes diferenciales de orden n .
El tensor de Riemann es un operador multilineal de cuarto rango que actúa sobre vectores tangentes . Sin embargo, también se puede considerar un operador lineal que actúa sobre bivectores , y como tal tiene un polinomio característico , cuyos coeficientes y raíces ( valores propios ) son polinomios escalares invariantes.
En las teorías métricas de la gravitación , como la relatividad general , los escalares de curvatura desempeñan un papel importante en la diferenciación de los distintos espaciotiempos.
Estos son análogos a dos invariantes cuadráticos familiares del tensor de campo electromagnético en el electromagnetismo clásico.
Un problema importante sin resolver en la relatividad general es dar una base (y cualquier syzygies ) para los invariantes de orden cero del tensor de Riemann.