En relatividad general , una solución de electrovacío (electrovacío) es una solución exacta de la ecuación de campo de Einstein en la que la única masa-energía no gravitacional presente es la energía de campo de un campo electromagnético , que debe satisfacer el Maxwell libre de fuente (espacio-tiempo curvo). ecuaciones apropiadas para la geometría dada. Por esta razón, las aspiradoras eléctricas a veces se denominan soluciones de Einstein-Maxwell (sin fuente) .
Definición matemática
En la relatividad general, la configuración geométrica de los fenómenos físicos es una variedad de Lorentz , que se interpreta físicamente como un espacio-tiempo curvo, y que se especifica matemáticamente mediante la definición de un tensor métrico. (o definiendo un campo de marco ). El tensor de curvatura de Riemann de esta variedad y cantidades asociadas, como el tensor de Einstein , están matemáticamente bien definidos. En relatividad general, pueden interpretarse como manifestaciones geométricas (curvatura y fuerzas) del campo gravitacional .
También necesitamos especificar un campo electromagnético definiendo un tensor de campo electromagnético en nuestra variedad de Lorentz. Estos dos tensores son necesarios [ aclaración necesaria ] para satisfacer dos condiciones siguientes
- El tensor de campo electromagnético debe satisfacer las ecuaciones de campo de Maxwell del espacio - tiempo curvo sin fuente. y
- El tensor de Einstein debe coincidir con el tensor de tensión-energía electromagnética ,.
La primera ecuación de Maxwell se satisface automáticamente si definimos el tensor de campo en términos de un vector de potencial electromagnético . En términos del covector dual (o potencial de una forma ) y el electromagnético de dos formas , podemos hacer esto configurando. Entonces solo necesitamos asegurarnos de que las divergencias desaparezcan (es decir, que la segunda ecuación de Maxwell se satisfaga para un campo libre de fuente ) y que la tensión-energía electromagnética coincida con el tensor de Einstein.
Invariantes
Como en el espacio-tiempo plano, el tensor del campo electromagnético es antisimétrico, con solo dos invariantes escalares algebraicamente independientes,
Aquí, la estrella es la estrella de Hodge .
Utilizando estos, podemos clasificar los posibles campos electromagnéticos de la siguiente manera:
- Si pero , tenemos un campo electrostático , lo que significa que algunos observadores medirán un campo eléctrico estático y ningún campo magnético.
- Si pero , tenemos un campo magnetostático , lo que significa que algunos observadores medirán un campo magnético estático y ningún campo eléctrico.
- Si , se dice que el campo electromagnético es nulo , y tenemos un electrovacío nulo .
Las electroaspiradoras nulas están asociadas con la radiación electromagnética. Un campo electromagnético que no es nulo se llama no nulo , y luego tenemos un electrovacío no nulo .
Tensor de Einstein
Los componentes de un tensor calculados con respecto a un campo de marco en lugar de la base de coordenadas a menudo se denominan componentes físicos , porque estos son los componentes que pueden (en principio) ser medidos por un observador.
En el caso de una solución de electrovacío, un marco adaptado
siempre se puede encontrar en el que el tensor de Einstein tiene una apariencia particularmente simple. Aquí, se entiende que el primer vector es un campo de vector unitario similar al tiempo ; esto es en todas partes tangente a las líneas del mundo de la correspondiente familia de observadores adaptados , cuyo movimiento está "alineado" con el campo electromagnético. Los últimos tres son campos vectoriales unitarios similares a espacios .
Para un electrovacío no nulo , se puede encontrar un marco adaptado en el que el tensor de Einstein toma la forma
dónde es la densidad de energía del campo electromagnético, medida por cualquier observador adaptado. A partir de esta expresión, es fácil ver que el grupo de isotropía de nuestro electrovacío no nulo se genera por aumentos en el dirección y rotaciones sobre el eje. En otras palabras, el grupo de isotropía de cualquier electrovacío no nulo es un grupo de Lie abeliano bidimensional isomorfo a SO (1,1) x SO (2).
Para un electrovacío nulo , se puede encontrar un marco adaptado en el que el tensor de Einstein toma la forma
A partir de esto, es fácil ver que el grupo de isotropía de nuestro electrovacío nulo incluye rotaciones sobre el eje; dos generadores más son las dos transformaciones parabólicas de Lorentz alineadas con eldirección dada en el artículo sobre el grupo Lorentz . En otras palabras, el grupo de isotropía de cualquier electrovacío nulo es un grupo de Lie tridimensional isomorfo a E (2), el grupo de isometría del plano euclidiano.
El hecho de que estos resultados sean exactamente los mismos en los espaciotiempos curvos que para la electrodinámica en el espaciotiempo plano de Minkowski es una expresión del principio de equivalencia .
Autovalores
El polinomio característico del tensor de Einstein de un electrovacío no nulo debe tener la forma
Usando las identidades de Newton , esta condición se puede volver a expresar en términos de las trazas de las potencias del tensor de Einstein como
dónde
Este criterio necesario puede ser útil para comprobar que una supuesta solución de electrovacío no nula es plausible y, a veces, es útil para encontrar soluciones de electrovacío no nulas.
El polinomio característico de un electrovacío nulo desaparece de manera idéntica , incluso si la densidad de energía es distinta de cero . Esta posibilidad es un tensor análogo al bien conocido de que un vector nulo siempre tiene una longitud de fuga, incluso si no es el vector cero. Por tanto, todo electrovacío nulo tiene un valor propio cuádruple , a saber, cero.
Condiciones de Rainich
En 1925, George Yuri Rainich presentó condiciones puramente matemáticas que son necesarias y suficientes para que una variedad Lorentziana admita una interpretación de la relatividad general como un electrovacío no nulo . Estos comprenden tres condiciones algebraicas y una condición diferencial. Las condiciones a veces son útiles para comprobar que un supuesto electrovacío no nulo es realmente lo que afirma, o incluso para encontrar tales soluciones.
Charles Torre ha encontrado condiciones análogas necesarias y suficientes para un electrovacío nulo . [1]
Campos de prueba
A veces se puede suponer que la energía de campo de cualquier campo electromagnético es tan pequeña que sus efectos gravitacionales pueden despreciarse. Luego, para obtener una solución de electrovacío aproximada, solo necesitamos resolver las ecuaciones de Maxwell en una solución de vacío dada . En este caso, el campo electromagnético a menudo se denomina campo de prueba , en analogía con el término partícula de prueba (que denota un objeto pequeño cuya masa es demasiado pequeña para contribuir apreciablemente al campo gravitacional ambiental).
Aquí, es útil saber que cualquier vector de Killing que pueda estar presente satisfará automáticamente (en el caso de una solución de vacío) las ecuaciones de Maxwell del espacio-tiempo curvo . [2]
Tenga en cuenta que este procedimiento equivale a asumir que el campo electromagnético, pero no el campo gravitacional, es "débil". A veces podemos ir aún más lejos; si el campo gravitacional también se considera "débil", podemos resolver independientemente las ecuaciones de campo de Einstein linealizadas y las ecuaciones de Maxwell (espacio-tiempo plano) sobre un fondo de vacío de Minkowksi. Entonces, el tensor métrico (débil) da la geometría aproximada; el trasfondo de Minkowski es inobservable por medios físicos, pero matemáticamente es mucho más sencillo trabajar con él, siempre que podamos salirse con la nuestra con tal prestidigitación.
Ejemplos de
Las soluciones de electrovacío no nulas individuales dignas de mención incluyen:
- Electrovacío Reissner-Nordström (que describe la geometría alrededor de una masa esférica cargada),
- Electrovacío Kerr-Newman (que describe la geometría alrededor de un objeto giratorio cargado),
- Melvin electrovacío (un modelo de un campo magnetostático cilíndrico simétrico),
- Electrovacío Garfinkle-Melvin (como el anterior, pero con una onda gravitacional que viaja a lo largo del eje de simetría),
- Electrovacío Bertotti-Robinson: se trata de un espacio-tiempo simple que tiene una estructura de producto notable; surge de una especie de "explosión" del horizonte del electrovacío Reissner-Nordström,
- Electrovacuums Witten (descubierto por Louis Witten , padre de Edward Witten ).
Las soluciones individuales de electrovacío nulo dignas de mención incluyen:
- la onda plana electromagnética monocromática , una solución exacta que es la anague relativitista general de las ondas planas en el electromagnetismo clásico,
- Electrovacío de Bell – Szekeres (un modelo de onda plana en colisión).
Algunas familias conocidas de aspiradoras eléctricas son:
- Electroaspiradoras Weyl-Maxwell: esta es la familia de todas las soluciones de electrovacío estático axisimétrico; incluye el electrovacío Reissner-Nordström,
- Electroaspiradoras Ernst-Maxwell: esta es la familia de todas las soluciones de electrovacío simétricas estacionarias; incluye el electrovacío Kerr-Newman,
- Electrovacíos Beck-Maxwell: todas las soluciones de electrovacío simétricas cilíndricamente no giratorias,
- Ehlers – Maxwell electrovacuums: todas las soluciones de electrovacío estacionarias cilíndricamente simétricas,
- Electrovacíos de Szekeres: todos los pares de ondas planas en colisión, donde cada onda puede contener tanto radiación gravitacional como electromagnética; estas soluciones son electrovacíos nulos fuera de la zona de interacción , pero generalmente son electrovacíos no nulos dentro de la zona de interacción, debido a la interacción no lineal de las dos ondas después de que chocan.
Muchos espaciotiempo de ondas pp admiten un tensor de campo electromagnético que las convierte en soluciones exactas de electrovacío nulo.
Ver también
Referencias
- ^ Torre, Charles (2014). "La geometría del espacio-tiempo de un campo electromagnético nulo". Gravedad clásica y cuántica . 31 : 045022. arXiv : 1308.2323 . Código bibliográfico : 2014CQGra..31d5022T . doi : 10.1088 / 0264-9381 / 31/4/045022 .
- ^ Papapetrou, A (1966). "Champs gravitationnels stationnaires à symétrie axiale" . Annales de l'Institut Henri Poincaré A (en francés). 4 (2): 83-105. Código Bibliográfico : 1966AnIHP ... 4 ... 83P . Consultado el 19 de diciembre de 2011 .
- Stephani, Hans; Kramer, Dietrich; MacCallum, Malcolm; Hoenselaers, Cornelius; Herlt, Eduard (2003). Soluciones exactas de las ecuaciones de campo de Einstein . Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 0-521-46136-7.Consulte la sección 5.4 para las condiciones de Rainich, la sección 19.4 para las aspiradoras eléctricas Weyl-Maxwell, la sección 21.1 para las aspiradoras eléctricas Ernst-Maxwell, la sección 24.5 para las ondas pp, la sección 25.5 para las aspiradoras eléctricas Szekeres, etc.
- Griffiths, JB (1991). Choque de ondas planas en relatividad general . Oxford: Clarendon Press . ISBN 0-19-853209-1. El recurso definitivo sobre ondas planas en colisión, incluidos los ejemplos mencionados anteriormente.