En matemáticas , los teoremas A y B de Cartan son dos resultados probados por Henri Cartan alrededor de 1951, con respecto a un haz F coherente en una variedad X de Stein . Son significativos tanto en su aplicación a varias variables complejas , como en el desarrollo general de la cohomología de la gavilla .
- El teorema A. F se divide en sus secciones globales .
El teorema B se enuncia en términos cohomológicos (una formulación que Cartan ( 1953 , p. 51) atribuye a J.-P. Serre):
- Teorema B. H p ( X , F ) = 0 para todo p > 0 .
Serre ( 1957 ) estableció propiedades análogas para haces coherentes en geometría algebraica , cuando X es un esquema afín . El análogo del Teorema B en este contexto es el siguiente ( Hartshorne 1977 , Teorema III.3.7):
- Teorema B (esquema teórico análogo). Deje que X sea un esquema afín, F una gavilla cuasi-coherente de O X -modules para la topología de Zariski en X . Entonces H p ( X , F ) = 0 para todo p > 0 .
Estos teoremas tienen muchas aplicaciones importantes. Por ejemplo, implican que una función holomorfa en un cerrado subvariedad compleja, Z , de un Stein colector X se puede extender a una función holomorfa en todos X . En un nivel más profundo, estos teoremas fueron utilizados por Jean-Pierre Serre para demostrar el teorema de GAGA .
El teorema B es agudo en el sentido de que si H 1 ( X , F ) = 0 para todas las gavillas coherentes F en una variedad compleja X (resp. Gavillas cuasi coherentes F en un esquema noetheriano X ), entonces X es Stein (resp. afín); ver ( Serre 1956 ) (resp. ( Serre 1957 ) y ( Hartshorne 1977 , Teorema III.3.7)).
- Ver también problemas de primos
Referencias
- Cartan, H. (1953), "Variétés analytiques complexes et cohomologie", Colloque tenu à Bruxelles : 41–55.
- Gunning, Robert C .; Rossi, Hugo (1965), Funciones analíticas de varias variables complejas , Prentice Hall.
- Hartshorne, Robin (1977), geometría algebraica , Springer-Verlag , ISBN 0-387-90244-9.
- Serre, Jean-Pierre (1957), "Sur la cohomologie des variétés algébriques", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées , 36 : 1-16.
- Serre, Jean-Pierre (1956), "Géométrie algébrique et géométrie analytique" , Annales de l'Institut Fourier , 6 : 1–42, doi : 10.5802 / aif.59 , ISSN 0373-0956 , MR 0082175