En matemáticas , la cohomología de gavillas es la aplicación del álgebra homológica para analizar las secciones globales de una gavilla en un espacio topológico . En términos generales, la cohomología de gavillas describe las obstrucciones para resolver un problema geométrico globalmente cuando se puede resolver localmente. El trabajo central para el estudio de la cohomología de la gavilla es el artículo Tôhoku de Grothendieck de 1957 .
Las gavillas, la cohomología de las gavillas y las secuencias espectrales fueron inventadas por Jean Leray en el campo de prisioneros de guerra Oflag XVII-A en Austria. [1] De 1940 a 1945, Leray y otros prisioneros organizaron una "université en captivité" en el campo.
Las definiciones de Leray se simplificaron y aclararon en la década de 1950. Quedó claro que la cohomología de gavillas no solo era un nuevo enfoque de la cohomología en topología algebraica , sino también un método poderoso en geometría analítica compleja y geometría algebraica . Estos temas a menudo implican la construcción de funciones globales con propiedades locales específicas, y la cohomología de gavillas es ideal para tales problemas. Muchos resultados anteriores, como el teorema de Riemann-Roch y el teorema de Hodge, se han generalizado o comprendido mejor utilizando la cohomología de gavillas.
Definición
La categoría de gavillas de grupos abelianos en un espacio topológico X es una categoría abeliana , por lo que tiene sentido preguntar cuándo un morfismo f : B → C de gavillas es inyectivo (un monomorfismo ) o sobreyectivo (un epimorfismo ). Una respuesta es que f es inyectiva (respectivamente sobreyectiva) si y sólo si el homomorfismo asociado en tallos B x → C x es inyectiva (respectivamente sobreyectiva ) para cada punto x en X . De ello resulta que f es inyectiva si y sólo si el homomorfismo B ( U ) → C ( U ) de las secciones sobre U es inyectiva para cada conjunto abierto U en X . La sobrejetividad es más sutil, sin embargo: el morfismo f es sobreyectivo si y solo si para cada conjunto abierto U en X , cada sección s de C sobre U , y cada punto x en U , hay una vecindad abierta V de x en U tal que s restringido a V es la imagen de alguna sección de B sobre V . (En palabras: cada sección de C se eleva localmente a las secciones de B ).
Como resultado, surge la pregunta: dada una sobreyección B → C de roldanas y una sección s de C sobre X , ¿cuándo es s la imagen de una sección de B sobre X ? Este es un modelo para todo tipo de preguntas de geometría local versus global. La cohomología de la gavilla da una respuesta general satisfactoria. Es decir, sea A el núcleo de la sobreyección B → C , dando una breve secuencia exacta
de poleas en X . Luego hay una secuencia larga y exacta de grupos abelianos, llamados grupos de cohomología de gavilla:
donde H 0 ( X , A ) es el grupo A ( X ) de las secciones globales de A en X . Por ejemplo, si el grupo H 1 ( X , A ) es cero, entonces esta secuencia exacta implica que cada sección global de C ascensores para una sección global de B . En términos más generales, la secuencia exacta hace que el conocimiento de los grupos de cohomología superior sea una herramienta fundamental para intentar comprender las secciones de las poleas.
La definición de Grothendieck de cohomología de gavillas, ahora estándar, usa el lenguaje del álgebra homológica. El punto esencial es fijar un espacio topológico X y pensar en la cohomología como un functor de haces de grupos abelianos en X a grupos abelianos. Con más detalle, comience con el functor E ↦ E ( X ) de haces de grupos abelianos en X a grupos abelianos. Esto se deja exacto , pero en general no es exacto. Entonces, los grupos H i ( X , E ) para enteros i se definen como los functores derivados de la derecha del funtor E ↦ E ( X ). Esto hace que sea automático que H i ( X , E ) sea cero para i <0, y que H 0 ( X , E ) sea el grupo E ( X ) de secciones globales. La larga secuencia exacta anterior también es sencilla a partir de esta definición.
La definición de functores derivados utiliza que la categoría de haces de grupos abelianos en cualquier espacio topológico X tiene suficientes inyectores; Es decir, para cada fajo E hay una gavilla inyectiva que con una inyección E → I . [2] De ello se deduce que cada haz E tiene una resolución inyectiva :
Entonces los grupos de cohomología de la gavilla H i ( X , E ) son los grupos de cohomología (el núcleo de un homomorfismo módulo la imagen del anterior) del complejo de cadenas de grupos abelianos:
Argumentos estándar de álgebra homológica implican que estos grupos de cohomología son independientes de la elección de la resolución inyectiva de E .
La definición rara vez se usa directamente para calcular la cohomología de la gavilla. No obstante, es poderoso, porque funciona en gran generalidad (cualquier haz de grupos abelianos en cualquier espacio topológico), e implica fácilmente las propiedades formales de la cohomología del haz, como la larga secuencia exacta anterior. Para clases específicas de espacios o poleas, existen muchas herramientas para calcular la cohomología de las gavillas, algunas de las cuales se describen a continuación.
Functorialidad
Para cualquier mapa continuo f : X → Y de espacios topológicos, y cualquier haz E de grupos abelianos en Y , hay un homomorfismo de retroceso
para cada entero j , donde f * ( E ) denota el haz de imágenes inversas o el haz de retroceso . [3] Si f es la inclusión de un subespacio X de Y , f * ( E ) es la restricción de E a X , a menudo simplemente llamada E nuevamente, y el retroceso de una sección s de Y a X se llama restricción s | X .
Los homomorfismos de retroceso se utilizan en la secuencia de Mayer-Vietoris , un resultado computacional importante. Es decir, vamos a X un espacio topológico que es una unión de dos subconjuntos abiertos U y V , y dejar que E sea un fajo de X . Luego hay una larga secuencia exacta de grupos abelianos: [4]
Cohomología de la gavilla con coeficientes constantes
Para un espacio topológico X y un grupo abeliano A , la constante gavilla A X significa el fajo de funciones localmente constantes con valores en A . Los grupos de cohomología de gavilla H j ( X , A X ) con coeficientes constantes a menudo se escriben simplemente como H j ( X , A ), a menos que esto pueda causar confusión con otra versión de cohomología como la cohomología singular .
Para una aplicación continua f : X → Y y un grupo abeliano A , la retirada gavilla f * ( A Y ) es isomorfo a A X . Como resultado, el homomorfismo de retroceso convierte la cohomología de gavilla con coeficientes constantes en un funtor contravariante de espacios topológicos a grupos abelianos.
Para cualquier espacio X e Y y cualquier grupo abeliano A , dos mapas homotópicos f y g de X a Y inducen el mismo homomorfismo en la cohomología de la gavilla: [5]
De ello se deduce que dos espacios equivalentes de homotopía tienen cohomología de gavilla isomórfica con coeficientes constantes.
Sea X un espacio de Hausdorff paracompacto que es localmente contráctil , incluso en el sentido débil de que cada vecindario abierto U de un punto x contiene un vecindario abierto V de x tal que la inclusión V → U es homotópica a un mapa constante. Entonces los grupos de cohomología singular de X con coeficientes en un grupo abeliano A son isomorfos a la cohomología de gavilla con coeficientes constantes, H * ( X , A X ). [6] Por ejemplo, esto es válido para X una variedad topológica o un complejo CW .
Como resultado, muchos de los cálculos básicos de cohomología de gavillas con coeficientes constantes son los mismos que los cálculos de cohomología singular. Consulte el artículo sobre cohomología para conocer la cohomología de esferas, espacios proyectivos, toros y superficies.
Para espacios topológicos arbitrarios, la cohomología singular y la cohomología de gavilla (con coeficientes constantes) pueden ser diferentes. Esto sucede incluso para H 0 . La cohomología singular H 0 ( X , Z ) es el grupo de todas las funciones del conjunto de componentes del camino de X a los enteros Z , mientras que la cohomología de gavilla H 0 ( X , Z X ) es el grupo de funciones localmente constantes de X a Z . Estos son diferentes, por ejemplo, cuando X es el conjunto de Cantor . De hecho, la cohomología de la gavilla H 0 ( X , Z X ) es un grupo abeliano contable en ese caso, mientras que la cohomología singular H 0 ( X , Z ) es el grupo de todas las funciones de X a Z , que tiene cardinalidad
Para una paracompact Hausdorff espacio X y cualquier gavilla E de grupos abelianos en X , los grupos de cohomología H j ( X , E ) son cero para j mayor que la dimensión que cubre de X . [7] (Esto no se aplica a la misma generalidad para la cohomología singular: por ejemplo, hay un subconjunto compacto del espacio euclidiano R 3 que tiene una cohomología singular distinta de cero en infinitos grados. [8] ) La dimensión de cobertura concuerda con la habitual noción de dimensión para una variedad topológica o un complejo CW.
Gavillas flácidas y blandas
Un haz E de grupos abelianos en un espacio topológico X se llama acíclico si H j ( X , E ) = 0 para todo j > 0. Por la secuencia larga exacta de cohomología de haz, la cohomología de cualquier haz se puede calcular a partir de cualquier haz acíclico resolución de E (en lugar de una resolución inyectiva). Las poleas inyectivas son acíclicas, pero para los cálculos es útil tener otros ejemplos de poleas acíclicas.
Un haz E en X se llama flácida (en francés: flasque ) si todas las secciones de E en un subconjunto abierto de X se extiende a una sección de E en todos X . Las gavillas flácidas son acíclicas. [9] Godement definió la cohomología de la gavilla a través de una resolución canónica flácida de cualquier gavilla; dado que las gavillas flácidas son acíclicas, la definición de Godement concuerda con la definición de cohomología de gavillas anterior. [10]
Un fajo E en un paracompact Hausdorff espacio X se llama suave si cada sección de la restricción de la E a un subconjunto cerrado de X se extiende a una sección de E en todos X . Cada gavilla blanda es acíclica. [11]
Algunos ejemplos de poleas suaves son la gavilla de reales -valued funciones continuas en cualquier espacio Hausdorff paracompact, o la gavilla de liso ( C ∞ funciones) en cualquier múltiple liso . [12] De manera más general, cualquier haz de módulos sobre un haz blando de anillos conmutativos es blando; por ejemplo, el haz de secciones lisas de un paquete vectorial sobre un colector liso es suave. [13]
Por ejemplo, estos resultados forman parte de la demostración del teorema de De Rham . Para una variedad X uniforme , el lema de Poincaré dice que el complejo de Rham es una resolución de la gavilla constante R X :
donde Ω X j es el haz de formas j suaves y el mapa Ω X j → Ω X j +1 es la derivada exterior d . Según los resultados anteriores, las poleas Ω X j son blandas y, por lo tanto, acíclicas. De ello se deduce que la cohomología de la gavilla de X con coeficientes reales es isomorfa a la cohomología de De Rham de X , definida como la cohomología del complejo de espacios vectoriales reales :
La otra parte del teorema de De Rham es identificar la cohomología de gavilla y la cohomología singular de X con coeficientes reales; que se mantiene en mayor generalidad, como se discutió anteriormente .
Čech cohomología
La cohomología de Čech es una aproximación a la cohomología de gavillas que a menudo es útil para los cálculos. Es decir, dejaser una cubierta abierta de un espacio topológico X , y dejar que E sea un fajo de grupos abelianos en X . Escribir los conjuntos abiertos en la cubierta como T i para los elementos i de un conjunto I , y fijar un ordenamiento de I . Entonces Čech cohomologyse define como la cohomología de un complejo explícito de grupos abelianos con j- ésimo grupo
Hay un homomorfismo natural. . Por lo tanto, la cohomología de Čech es una aproximación a la cohomología de gavillas utilizando solo las secciones de E en intersecciones finitas de los conjuntos abiertos U i .
Si cada intersección finita V de los conjuntos abiertos enno tiene una cohomología más alta con coeficientes en E , lo que significa que H j ( V , E ) = 0 para todo j > 0, entonces el homomorfismo de la cohomología Čechgavillar cohomología es un isomorfismo. [14]
Otro enfoque para relacionar la cohomología Čech con la cohomología de la gavilla es el siguiente. Los grupos de cohomología Čech se definen como el límite directo de sobre todas las cubiertas abiertas de X (donde las cubiertas abiertas se ordenan por refinamiento ). Hay un homomorfismode la cohomología Čech a la cohomología de gavilla, que es un isomorfismo para j ≤ 1. Para espacios topológicos arbitrarios, la cohomología de Čech puede diferir de la cohomología de gavilla en grados superiores. Convenientemente, sin embargo, la cohomología Čech es isomorfa a la cohomología de gavillas para cualquier gavilla en un espacio paracompacto de Hausdorff. [15]
El isomorfismo implica una descripción de H 1 ( X , E ) para cualquier haz E de grupos abelianos en un espacio topológico X : este grupo clasifica los E - torores (también llamados E- haces principales ) sobre X , hasta el isomorfismo. (Este enunciado se generaliza a cualquier haz de grupos G , no necesariamente abelianos, utilizando el conjunto de cohomología no abeliana H 1 ( X , G ).) Por definición, un E -torsor sobre X es un haz S de conjuntos junto con una acción de E sobre X de manera que cada punto de X tiene una vecindad abierta en la que S es isomorfo a E , con E actuando sobre sí mismo por traslación. Por ejemplo, en un espacio anillado ( X , O X ), se deduce que el grupo Picard de poleas invertibles en X es isomorfo al grupo de cohomología de gavilla H 1 ( X , O X *), donde O X * es la gavilla de unidades en O X .
Cohomología relativa
Para un subconjunto Y de un espacio topológico X y un haz E de grupos abelianos en X , se pueden definir grupos de cohomología relativa : [16]
para enteros j . Otros nombres son la cohomología de X con apoyo en Y , o (cuando Y se cierra en X ) cohomología local . Una secuencia larga y exacta relaciona la cohomología relativa con la cohomología de gavilla en el sentido habitual:
Cuando Y está cerrado en X , la cohomología con soporte en Y se puede definir como los functores derivados del functor
el grupo de secciones de E que se apoya en Y .
Existen varios isomorfismos conocidos como escisión . Por ejemplo, si X es un espacio topológico con subespacios Y y U tal que el cierre de Y está contenido en el interior de U , y E es un haz en X , entonces la restricción
es un isomorfismo. [17] (Entonces, la cohomología con soporte en un subconjunto cerrado Y solo depende del comportamiento del espacio X y la gavilla E cerca de Y ). Además, si X es un espacio de Hausdorff paracompacto que es la unión de los subconjuntos cerrados A y B , y E es una gavilla en X , entonces la restricción
es un isomorfismo. [18]
Cohomología con soporte compacto
Sea X un espacio topológico localmente compacto . (En este artículo, un espacio localmente compacto se entiende como Hausdorff.) Para un haz E de grupos abelianos en X , se puede definir una cohomología con soporte compacto H c j ( X , E ). [19] Estos grupos se definen como los functores derivados del functor de secciones con soporte compacto:
Hay un homomorfismo natural H c j ( X , E ) → H j ( X , E ), que es un isomorfismo para X compact.
Para una gavilla E en un espacio X localmente compacto , la cohomología con soporte compacto de X × R con coeficientes en el retroceso de E es un cambio de la cohomología con soporte compacto de X : [20]
De ello se deduce, por ejemplo, que H c j ( R n , Z ) es isomorfo a Z si j = n y es cero en caso contrario.
La cohomología con soporte compacto no es funcional con respecto a mapas continuos arbitrarios. Para un mapa adecuado f : Y → X de espacios localmente compactos y una gavilla E en X , sin embargo, hay un homomorfismo de retroceso
en cohomología con soporte compacto. Además, para un subconjunto abierto U de un espacio X localmente compacto y una gavilla E en X , existe un homomorfismo de avance conocido como extensión por cero : [21]
Ambos homomorfismos ocurren en la secuencia de localización exacta larga para la cohomología con soporte compacto, para un espacio X localmente compacto y un subconjunto cerrado Y : [22]
Producto de taza
Para cualquier haz A y B de grupos abelianos en un espacio topológico X , hay un mapa bilineal, el producto de copa
para todo i y j . [23] Aquí A ⊗ B denota el producto tensorial sobre Z , pero si A y B son haces de módulos sobre algún haz O X de anillos conmutativos, entonces uno puede mapear más lejos de H i + j (X, A ⊗ Z B ) a H i + j (X, A ⊗ O X B ). En particular, para un haz O X de anillos conmutativos, el producto de taza hace que la suma directa
en un anillo conmutativo graduado , lo que significa que
para todo u en H i y v en H j . [24]
Complejos de gavillas
La definición de cohomología de gavillas como un functor derivado se extiende para definir la cohomología de un espacio topológico X con coeficientes en cualquier complejo E de gavillas:
En particular, si el complejo E está acotado por debajo (la gavilla E j es cero para j suficientemente negativa), entonces E tiene una resolución inyectiva I al igual que una sola gavilla. (Por definición, I es un complejo por debajo delimitado de haces inyectivos con un mapa de cadena E → I que es un cuasi-isomorfismo .) Entonces los grupos de cohomología H j ( X , E ) se definen como la cohomología del complejo de grupos abelianos.
La cohomología de un espacio con coeficientes en un complejo de haces se llamaba anteriormente hipercohomología , pero ahora por lo general ahora es simplemente "cohomología".
De manera más general, para cualquier complejo de roldanas E (no necesariamente delimitado por debajo) en un espacio X , el grupo de cohomología H j ( X , E ) se define como un grupo de morfismos en la categoría derivada de rollos en X :
donde Z X es la gavilla constante asociada a los números enteros, y E [ j ] significa el complejo E desplazado j pasos hacia la izquierda.
Dualidad y generalizaciones de Poincaré
Un resultado central en topología es el teorema de la dualidad de Poincaré : para una variedad X topológica conectada y orientada cerrada de dimensión ny un campo k , el grupo H n ( X , k ) es isomorfo ak , y el producto de copa
es una combinación perfecta para todos los números enteros j . Es decir, el mapa resultante de H j ( X , k ) al espacio dual H n - j ( X , k ) * es un isomorfismo. En particular, los espacios vectoriales H j ( X , k ) y H n - j ( X , k ) * tienen la misma dimensión (finita) .
Son posibles muchas generalizaciones utilizando el lenguaje de la cohomología de gavillas. Si X es un colector n orientado , no necesariamente compacto o conectado, yk es un campo, entonces la cohomología es el dual de la cohomología con soporte compacto:
Para cualquier variedad X y campo k , hay un haz o X en X , el haz de orientación , que es localmente (pero quizás no globalmente) isomorfo al haz constante k . Una versión de la dualidad de Poincaré para un n- múltiple X arbitrario es el isomorfismo: [25]
De manera más general, si E es un haz localmente constante de k -espacios de vectores en un n- múltiple X y los tallos de E tienen una dimensión finita, entonces hay un isomorfismo
Con coeficientes en un anillo conmutativo arbitrario en lugar de un campo, la dualidad de Poincaré se formula naturalmente como un isomorfismo de la cohomología a la homología de Borel-Moore .
La dualidad Verdier es una vasta generalización. Para cualquier espacio X localmente compactode dimensión finita y cualquier campo k , hay un objeto D X en la categoría derivada D ( X ) de roldanas en X llamado complejo de dualización (con coeficientes en k ). Un caso de dualidad de Verdier es el isomorfismo: [26]
Para un n- múltiple X , el complejo de dualización D X es isomorfo al desplazamiento o X [ n ] del haz de orientación. Como resultado, la dualidad de Verdier incluye la dualidad de Poincaré como un caso especial.
La dualidad de Alexander es otra generalización útil de la dualidad de Poincaré. Para cualquier subconjunto cerrado X de un n- múltiple M orientadoy cualquier campo k , hay un isomorfismo: [27]
Esto ya es interesante para X un subconjunto compacto de M = R n , donde dice (en términos generales) que la cohomología de R n - X es el doble de la cohomología fajo de X . En esta afirmación, es esencial considerar la cohomología de la gavilla en lugar de la cohomología singular, a menos que se hagan supuestos adicionales sobre X , como la contractibilidad local.
Imágenes directas más altas y la secuencia espectral de Leray
Deje f : X → Y sea una aplicación continua de espacios topológicos, y dejar que E sea un fajo de grupos abelianos en X . La gavilla de imagen directa f * E es la gavilla en Y definida por
para cualquier subconjunto abierto U de Y . Por ejemplo, si f es el mapa de X a un punto, entonces f * E es la gavilla en un punto correspondiente al grupo E ( X ) de las secciones globales de E .
El functor f * de las poleas en X a las poleas en Y se deja exacto, pero en general no es exacto a la derecha. Las poleas de imagen directa más altas R i f * E en Y se definen como los functores derivados derechos del f * f * . Otra descripción es que R i f * E es la gavilla asociada a la presheaf
en Y . [28] Por lo tanto, las gavillas de imágenes directas más altas describen la cohomología de imágenes inversas de pequeños conjuntos abiertos en Y , en términos generales.
La secuencia espectral Leray refiere cohomology en X a cohomology en Y . Es decir, para cualquier mapa continuo f : X → Y y cualquier haz E en X , hay una secuencia espectral
Este es un resultado muy general. El caso especial donde f es una fibración y E es una gavilla constante juega un papel importante en la teoría de la homotopía bajo el nombre de secuencia espectral de Serre . En ese caso, las poleas de imagen directa más altas son localmente constantes, con los tallos los grupos de cohomología de las fibras F de f , por lo que la secuencia espectral de Serre se puede escribir como
para un grupo abeliano A .
Un caso simple pero útil de la secuencia espectral de Leray es que para cualquier subconjunto cerrado X de un espacio topológico Y y cualquier haz E en X , escribiendo f : X → Y para la inclusión, hay un isomorfismo [29]
Como resultado, cualquier pregunta sobre la cohomología de la gavilla en un subespacio cerrado puede traducirse en una pregunta sobre la gavilla de imagen directa en el espacio ambiental.
Finitud de la cohomología
Hay un fuerte resultado de finitud en la cohomología de gavillas. Sea X un espacio compacto de Hausdorff y sea R un dominio ideal principal , por ejemplo, un campo o el anillo Z de números enteros. Sea E un conjunto de módulos R en X , y suponga que E tiene "cohomología localmente generada de forma finita", lo que significa que para cada punto x en X , cada entero j , y cada vecindario abierto U de x , hay un vecindario abierto V ⊂ U de x tal que la imagen de H j ( U , E ) → H j ( V , E ) es un módulo R generado finitamente . Entonces, los grupos de cohomología H j ( X , E ) son módulos R generados finitamente . [30]
Por ejemplo, para un espacio compacto de Hausdorff X que es localmente contráctil (en el sentido débil discutido anteriormente ), el grupo de cohomología de gavilla H j ( X , Z ) se genera de forma finita para cada entero j .
Un caso en el que se aplica el resultado de finitud es el de una gavilla construible . Sea X un espacio topológicamente estratificado . En particular, X viene con una secuencia de subconjuntos cerrados
tal que cada diferencia X i - X i −1 es una variedad topológica de dimensión i . Un haz E de R -módulos en X es construible con respecto a la estratificación dada si la restricción de E a cada estrato X i - X i −1 es localmente constante, con el tallo un R -módulo finitamente generado . Una gavilla E sobre X que es construible con respecto a la estratificación dada tiene cohomología localmente generada de forma finita. [31] Si X es compacto, se deduce que los grupos de cohomología H j ( X , E ) de X con coeficientes en una gavilla construible se generan de forma finita.
De manera más general, suponga que X es compactable, lo que significa que hay un espacio estratificado compacto W que contiene a X como un subconjunto abierto, con W - X una unión de componentes conectados de estratos. Entonces, para cualquier haz constructivo E de módulos R en X , los módulos R H j ( X , E ) y H c j ( X , E ) se generan de forma finita. [32] Por ejemplo, cualquier variedad algebraica compleja X , con su topología clásica (euclidiana), es compactable en este sentido.
Cohomología de poleas coherentes
En geometría algebraica y geometría analítica compleja, las gavillas coherentes son una clase de gavillas de particular importancia geométrica. Por ejemplo, un paquete de vectores algebraicos (en un esquema localmente noetheriano ) o un paquete de vectores holomórficos (en un espacio analítico complejo ) puede verse como un haz coherente, pero los haces coherentes tienen la ventaja sobre los paquetes de vectores de que forman una categoría abeliana. En un esquema, también es útil considerar las poleas cuasi coherentes , que incluyen las gavillas localmente libres de rango infinito.
Se sabe mucho sobre los grupos de cohomología de un esquema o espacio analítico complejo con coeficientes en un haz coherente. Esta teoría es una herramienta técnica clave en geometría algebraica. Entre los principales teoremas se encuentran los resultados sobre la desaparición de la cohomología en diversas situaciones, los resultados sobre la dimensionalidad finita de la cohomología, las comparaciones entre la cohomología de gavilla coherente y la cohomología singular como la teoría de Hodge , y fórmulas sobre características de Euler en cohomología de gavilla coherente como la de Riemann Teorema de Roch .
Gavillas en un sitio
En la década de 1960, Grothendieck definió la noción de sitio , es decir, una categoría equipada con una topología de Grothendieck . Un sitio C axiomatizes la noción de un conjunto de morfismos V alpha → U en C ser un recubrimiento de U . Un espacio topológico X determina un sitio de forma natural: la categoría C tiene objetos los subconjuntos abiertos de X , siendo los morfismos inclusiones, y con un conjunto de morfismos V α → U que se llama una cobertura de U si y solo si U es la unión de los subconjuntos abiertos V α . El ejemplo motivador de una topología de Grothendieck más allá de ese caso fue la topología étale en esquemas. Desde entonces, se han utilizado muchas otras topologías de Grothendieck en geometría algebraica: la topología fpqc , la topología de Nisnevich , etc.
La definición de gavilla funciona en cualquier sitio. De modo que se puede hablar de un fajo de conjuntos en un sitio, un fajo de grupos abelianos en un sitio, etc. La definición de cohomología de gavilla como un functor derivado también funciona en un sitio. Entonces uno tiene grupos de cohomología de haz H j ( X , E ) para cualquier objeto X de un sitio y cualquier haz E de grupos abelianos. Para la topología étale, esto da la noción de cohomología étale , que condujo a la prueba de las conjeturas de Weil . La cohomología cristalina y muchas otras teorías de cohomología en geometría algebraica también se definen como cohomología de gavilla en un sitio apropiado.
Notas
- ^ Miller, Haynes (2000). "Leray en Oflag XVIIA: Los orígenes de la teoría de la gavilla, la cohomología de la gavilla y las secuencias espectrales" ( PS ) .
- ↑ Iversen (1986), Teorema II.3.1.
- ↑ Iversen (1986), II.5.1.
- ↑ Iversen (1986), II.5.10.
- ↑ Iversen (1986), Teorema IV.1.1.
- ^ Bredon (1997), Teorema III.1.1.
- ↑ Godement (1973), II.5.12.
- ^ Barratt y Milnor (1962).
- ↑ Iversen (1986), Teorema II.3.5.
- ↑ Iversen (1986), II.3.6.
- ^ Bredon (1997), Teorema II.9.11.
- ^ Bredon (1997), ejemplo II.9.4.
- ^ Bredon (1997), Teorema II.9.16.
- ↑ Godement (1973), sección II.5.4.
- ↑ Godement (1973), sección II.5.10.
- ^ Bredon (1997), sección II.12.
- ^ Bredon (1997), Teorema II.12.9.
- ^ Bredon (1997), Corolario II.12.5.
- ↑ Iversen (1986), Definición III.1.3.
- ^ Bredon (1997), Teorema II.15.2.
- ↑ Iversen (1986), II.7.4.
- ↑ Iversen (1986), II.7.6.
- ↑ Iversen (1986), II.10.1.
- ↑ Iversen (1986), II.10.3.
- ^ Iversen (1986), Teorema V.3.2.
- ↑ Iversen (1986), IX.4.1.
- ↑ Iversen (1986), Teorema IX.4.7 y sección IX.1.
- ↑ Iversen (1986), Proposición II.5.11.
- ↑ Iversen (1986), II.5.4.
- ^ Bredon (1997), Teorema II.17.4; Borel (1984), V.3.17.
- ^ Borel (1984), Proposición V.3.10.
- ^ Borel (1984), Lema V.10.13.
Referencias
- Barratt, MG; Milnor, John (1962), "Un ejemplo de homología singular anómala", Proceedings of the American Mathematical Society , 13 : 293-297, doi : 10.1090 / S0002-9939-1962-0137110-9 , MR 0137110
- Borel, Armand (1984), Cohomología de intersecciones , Birkhäuser , ISBN 0-8176-3274-3, MR 0788171
- Bredon, Glen E. (1997) [1967], Sheaf Theory (2.a ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / 978-1-4612-0647-7 , ISBN 978-0-387-94905-5, Señor 1481706
- Godement, Roger (1973) [1958], Topologie algébrique et théorie des faisceaux , París: Hermann, MR 0345092
- Griffiths, Phillip ; Harris, Joseph (1994) [1978], Principles of Algebraic Geometry , Wiley Classics Library, Nueva York: John Wiley & Sons , doi : 10.1002 / 9781118032527 , ISBN 978-0-471-05059-9, MR 1288523
- Grothendieck, A. (1957), "Sur quelques points d'algèbre homologique" , Tôhoku Mathematical Journal , (2), 9 : 119–221, doi : 10.2748 / tmj / 1178244839 , MR 0102537. Traducción inglesa .
- Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157 , OCLC 13348052
- Iversen, Birger (1986), Cohomology of Sheaves , Universitext, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / 978-3-642-82783-9 , ISBN 978-3-540-16389-3, MR 0842190
enlaces externos
- El hilo "Cohomología de la gavilla y resoluciones inyectivas" en MathOverflow
- La "cohomología de la gavilla" en Stack Exchange