En matemáticas , el teorema de Cartan-Ambrose-Hicks es un teorema de la geometría de Riemann , según el cual la métrica de Riemann está determinada localmente por el tensor de curvatura de Riemann , o en otras palabras, el comportamiento del tensor de curvatura bajo traslación paralela determina la métrica.
El teorema lleva el nombre de Élie Cartan , Warren Ambrose y su estudiante de doctorado Noel Hicks. [1] Cartan probó la versión local. Ambrose demostró una versión global que permite isometrías entre variedades riemannianas generales con curvatura variable, en 1956. [2] Esto fue generalizado aún más por Hicks a variedades generales con conexiones afines en sus haces tangentes , en 1959. [3]
Se puede encontrar un enunciado y una prueba del teorema en [4]
Introducción
Dejar estar conectados, colectores riemannianos completos. Dejar, y deja
ser una isometría lineal . Para suficientemente pequeño, los mapas exponenciales
son difeomorfismos locales. Aquí, ¿Está la bola centrada en de radio Luego se define un difeomorfismo por
Para una geodésica con , lo asigna a una geodésica con ,. Dejarser el transporte paralelo a lo largo de (definido por la conexión Levi-Civita ), y ser el transporte paralelo a lo largo de . Entonces definimos
por .
Teorema de cartan
El teorema original probado por Cartan es la versión local del teorema de Cartan-Ambrose-Hicks. Se afirma que es una isometría (local) si para todas las geodésicas con y todo , tenemos , dónde son los tensores de curvatura de Riemann de .
Tenga en cuenta que generalmente no tiene que ser un difeomorfismo, sino solo un mapa de cobertura isométrico local . Sin emabargo, debe ser una isometría global si está simplemente conectado.
Teorema de Cartan-Ambrose-Hicks
Teorema : para tensores de curvatura de Riemann y todas las geodésicas rotas (una geodésica rota es una curva que es geodésica por partes) con ,
para todos .
Entonces, si dos geodésicas rotas que comienzan en tienen el mismo punto final, luego las correspondientes geodésicas rotas (mapeadas por ) en también tienen el mismo punto final. Entonces existe un mapa
mapeando los puntos finales geodésicos rotos en a los puntos finales geodésicos correspondientes en .
El mapa es un mapa de cobertura isométrico local.
Si también está simplemente conectado, entonces es una isometría.
Espacios localmente simétricos
Una variedad de Riemann se llama localmente simétrica si su tensor de curvatura de Riemann es invariante bajo transporte paralelo:
Una variedad de Riemannian simplemente conectada es localmente simétrica si es un espacio simétrico .
Del teorema de Cartan-Ambrose-Hicks, tenemos:
Teorema : Sea estar conectados, completos, variedades riemannianas localmente simétricas, y dejar estar simplemente conectado. Sean sus tensores de curvatura de Riemann. Dejar y
ser una isometría lineal con . Entonces existe un mapa de cobertura isométrico local
con y .
Corolario : Cualquier espacio localmente simétrico completo tiene la forma para un espacio simétrico y es un subgrupo discreto de isometrías de.
Clasificación de formas espaciales
Como una aplicación del teorema de Cartan-Ambrose-Hicks, cualquier variedad de Riemannian completa simplemente conectada con curvatura seccional constante es respectivamente isométrica a la n- esfera , el espacio n- euclidiano , y el n -espacio hiperbólico .
Referencias
- ^ Proyecto de genealogía de matemáticas , entrada para Noel Justin Hicks
- ^ Ambrosio, W. (1956). "Traducción paralela de la curvatura riemanniana". Los anales de las matemáticas . JSTOR. 64 (2): 337. doi : 10.2307 / 1969978 . ISSN 0003-486X .
- ^ Hicks, Noel (1959). "Un teorema sobre conexiones afines" . Revista de Matemáticas de Illinois . 3 (2): 242-254. doi : 10.1215 / ijm / 1255455125 . ISSN 0019-2082 .
- ^ Cheeger, Jeff; Ebin, David G. (2008). "Capítulo 1, sección 12, el teorema de Cartan-Ambrose-Hicks". Teoremas de comparación en geometría riemanniana . Providence, RI: AMS Chelsea Pub. ISBN 0-8218-4417-2. OCLC 185095562 .