Subálgebra de Cartan

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En matemáticas , una subálgebra de Cartan , a menudo abreviada como CSA , es una subálgebra nilpotente de un álgebra de Lie que se autonormaliza (si es que , entonces ). Fueron presentados por Élie Cartan en su tesis doctoral. Controla la teoría de la representación de un álgebra de Lie semi-simple sobre un campo de características . ${\displaystyle {\mathfrak{h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak{g}}}$${\ estilo de visualización [X, Y] \ en {\ mathfrak {h}}}$${\displaystyle X\in {\mathfrak{h}}}$${\displaystyle Y\in {\mathfrak{h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak{g}}}$${\ estilo de visualización 0}$

En un álgebra de Lie semisimple de dimensión finita sobre un campo algebraicamente cerrado de característica cero (p. ej., ), una subálgebra de Cartan es lo mismo que una subálgebra abeliana máxima que consta de elementos x tales que el endomorfismo adjunto es semisimple (es decir, diagonalizable ). A veces, esta caracterización se toma simplemente como la definición de una subálgebra de Cartan. ^{[1] pág. 231}${\ estilo de visualización \ mathbb {C}}$ ${\displaystyle \operatorname {anuncio} (x):{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}$

En general, una subálgebra se llama toral si consta de elementos semisimples. Sobre un campo algebraicamente cerrado, una subálgebra toral es automáticamente abeliana. Por lo tanto, sobre un campo algebraicamente cerrado de característica cero, una subálgebra de Cartan también se puede definir como una subálgebra toral máxima.

Las álgebras de Kac-Moody y las álgebras de Kac-Moody generalizadas también tienen subálgebras que desempeñan el mismo papel que las subálgebras de Cartan de las álgebras de Lie semisimples (sobre un campo de característica cero).

Las subálgebras de Cartan existen para álgebras de Lie de dimensión finita siempre que el campo base sea ​​infinito. Una forma de construir una subálgebra de Cartan es por medio de un elemento regular . Sobre un campo finito, la cuestión de la existencia sigue abierta. ^{[ cita requerida ]}

Para un álgebra de Lie semisimple de dimensión finita sobre un campo algebraicamente cerrado de característica cero, existe un enfoque más simple: por definición, una subálgebra toral es una subálgebra de que consta de elementos semisimples (un elemento es semisimple si el endomorfismo adjunto inducido por él es diagonalizable ). Una subálgebra de Cartan de es entonces lo mismo que una subálgebra toral máxima y la existencia de una subálgebra toral máxima es fácil de ver.${\displaystyle {\mathfrak{g}}}$${\displaystyle {\mathfrak{g}}}$${\displaystyle {\mathfrak{g}}}$

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