En matemáticas , un álgebra de mentira es nilpotente si su serie central inferior termina en la subálgebra cero. La serie central inferior es la secuencia de subálgebras
Nosotros escribimos , y para todos . Si la serie central inferior finalmente llega a la subálgebra cero, entonces el álgebra de Lie se llama nilpotente. La serie central inferior para las álgebras de Lie es análoga a la serie central inferior en la teoría de grupos , y las álgebras de Lie nilpotentes son análogas a los grupos nilpotentes .
Las álgebras de Lie nilpotentes son precisamente las que se pueden obtener de las álgebras de Lie abelianas, mediante sucesivas extensiones centrales .
Tenga en cuenta que la definición significa que, visto como un álgebra no asociativa no unital, un álgebra de Lie es nilpotente si es nilpotente como ideal.
Definición
Dejar ser un álgebra de mentira . Uno dice quees nilpotente si la serie central inferior termina, es decir, sipara algunos n ∈ ℕ .
Explícitamente, esto significa que
de modo que ad X 1 ad X 2 ⋅⋅⋅ ad X n = 0 .
Condiciones equivalentes
Una consecuencia muy especial de (1) es que
Así (ad X ) n = 0 para todos. Es decir, ad X es un endomorfismo nilpotente en el sentido habitual de endomorfismos lineales (en lugar de álgebras de Lie). Llamamos a tal elemento x en ad-nilpotente .
Sorprendentemente, si es de dimensión finita, la condición aparentemente mucho más débil (2) es en realidad equivalente a (1), como lo indica
- Teorema de Engel : un álgebra de Lie de dimensión finita es nilpotente si y solo si todos los elementos de son ad-nilpotentes,
que no probaremos aquí.
Una condición equivalente algo más fácil para la nula potencia de : es nilpotente si y solo si es nilpotente (como álgebra de Lie). Para ver esto, primero observe que (1) implica quees nilpotente, ya que la expansión de un corchete anidado ( n - 1) constará de términos de la forma en (1). Por el contrario, se puede escribir [1]
y dado que ad es un homomorfismo de álgebra de Lie,
Si es nilpotente, la última expresión es cero para n suficientemente grande y, en consecuencia, la primera. Pero esto implica (1), entonces es nilpotente.
Además, un álgebra de Lie de dimensión finita es nilpotente si y solo si existe una cadena descendente de ideales tal que . [2]
Ejemplos de
Matrices triangulares estrictamente superiores
Si es el conjunto de matrices k × k con entradas en ℝ , entonces la subálgebra que consta de matrices triangulares estrictamente superiores es un álgebra de Lie nilpotente.
Álgebras de Heisenberg
Un álgebra de Heisenberg es nilpotente. Por ejemplo, en la dimensión 3, el conmutador de dos matrices
dónde .
Subálgebras de Cartan
Una subálgebra de Cartan de un álgebra de mentira es nilpotente y autonormalizante [3] pág . 80 . La condición de autonormalización es equivalente a ser el normalizador de un álgebra de Lie. Esto significa. Esto incluye matrices triangulares superiores y todas las matrices diagonales en .
Otros ejemplos
Si un álgebra de mentira tiene un automorfismo de período primo sin puntos fijos excepto en 0 , entonceses nilpotente. [4]
Propiedades
Las álgebras de Lie nilpotentes se pueden resolver
Cada álgebra de mentira nilpotente tiene solución . Esto es útil para demostrar la capacidad de solución de un álgebra de Lie ya que, en la práctica, suele ser más fácil demostrar la nula potencia (¡cuando se cumple!) Que la capacidad de solución. Sin embargo, en general, la inversa de esta propiedad es falsa. Por ejemplo, la subálgebra de( k ≥ 2 ) que consta de matrices triangulares superiores,, es solucionable pero no nilpotente.
Subálgebras e imágenes
Si un álgebra de mentira es nilpotente, entonces todas las subálgebras e imágenes homomórficas son nilpotentes.
Nilpotencia del cociente por el centro
Si el álgebra del cociente , dónde es el centro de, es nilpotente, entonces también lo es . Esto quiere decir que una extensión central de un álgebra de Lie nilpotente por un álgebra de Lie nilpotente es nilpotente.
Teorema de Engel
Teorema de Engel : un álgebra de Lie de dimensión finita es nilpotente si y solo si todos los elementos de son ad-nilpotentes.
Formulario Zero Killing
La forma Killing de un álgebra de Lie nilpotente es 0 .
Tienen automorfismos externos
Un álgebra de Lie nilpotente tiene un automorfismo externo , es decir, un automorfismo que no está en la imagen de Ad.
Subálgebras derivadas de álgebras de Lie solubles
La subálgebra derivada de un álgebra de Lie resoluble de dimensión finita sobre un campo de característica 0 es nilpotente.
Ver también
Notas
- ^ Knapp 2002 Proposición 1.32.
- ^ Serre , cap. Yo, Proposición 1.
- ^ Humphreys, James E. (1972). Introducción a las álgebras de mentira y teoría de la representación . Nueva York, NY: Springer New York. ISBN 978-1-4612-6398-2. OCLC 852791600 .
- ^ Jacobson, N. (1989), Jacobson, Nathan (ed.), "A Note on Automorphisms and Derivations of Lie Algebras", Nathan Jacobson Collected Mathematical Papers: Volume 2 (1947-1965) , Contemporary Mathematicians, Birkhäuser, págs. 251 –253, doi : 10.1007 / 978-1-4612-3694-8_16 , ISBN 978-1-4612-3694-8
Referencias
- Fulton, W .; Harris, J. (1991). Teoría de la representación. Un primer plato . Textos de Posgrado en Matemáticas . 129 . Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97527-6. Señor 1153249 .
- Humphreys, James E. (1972). Introducción a las álgebras de mentira y teoría de la representación . Textos de Posgrado en Matemáticas. 9 . Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90053-5.
- Knapp, AW (2002). Grupos de mentiras más allá de una introducción . Progreso en Matemáticas. 120 (2ª ed.). Boston · Basilea · Berlín: Birkhäuser. ISBN 0-8176-4259-5.
- Serre, Jean-Pierre (2000), Algèbres de Lie semi-simples complexes [ Complex Semisimple Lie Algebras ], traducido por Jones, GA, Springer, ISBN 978-3-540-67827-4.