En matemáticas , un álgebra de Kac-Moody generalizada es un álgebra de Lie que es similar a un álgebra de Kac-Moody , excepto que se permite tener raíces imaginarias simples . Las álgebras de Kac-Moody generalizadas también se denominan a veces álgebras de GKM , álgebras de Borcherds-Kac-Moody , álgebras de BKM o álgebras de Borcherds . El ejemplo más conocido es el álgebra de Lie del monstruo .
Motivación
Las álgebras de Lie semisimples de dimensión finita tienen las siguientes propiedades:
- Tienen una forma bilineal invariante simétrica no degenerada (,).
- Tienen una clasificación tal que la pieza de grado cero (la subálgebra de Cartan ) es abeliana.
- Tienen una involución (de Cartan) w .
- ( a , w (a) ) es positivo si a es distinto de cero.
Por ejemplo, para las álgebras de n por n matrices de traza cero, la forma bilineal es ( a , b ) = Traza ( ab ), la involución de Cartan está dada por menos la transposición, y la clasificación puede estar dada por "distancia desde la diagonal "de modo que la subálgebra de Cartan son los elementos diagonales.
A la inversa, se puede intentar encontrar todas las álgebras de Lie con estas propiedades (y que satisfagan algunas otras condiciones técnicas). La respuesta es que se obtienen sumas de álgebras de Lie afines y de dimensión finita .
El álgebra de Lie monstruosa satisface una versión ligeramente más débil de las condiciones anteriores: ( a , w (a) ) es positivo si a es distinto de cero y tiene un grado distinto de cero , pero puede ser negativo cuando a tiene un grado cero. Las álgebras de Lie que satisfacen estas condiciones más débiles son álgebras de Kac-Moody más o menos generalizadas. Son esencialmente las mismas que las álgebras dadas por ciertos generadores y relaciones (que se describen a continuación).
De manera informal, las álgebras de Kac-Moody generalizadas son las álgebras de Lie que se comportan como álgebras de Lie semisimples de dimensión finita. En particular, tienen un grupo Weyl , fórmula de carácter Weyl , subálgebra de Cartan , raíces, pesos, etc.
Definición
Una matriz de Cartan simétrica es una matriz cuadrada (posiblemente infinita) con entradas tal que
- Si
- es un entero si
El álgebra universal generalizada de Kac-Moody con una matriz de Cartan simétrizada dada está definida por generadores y y y relaciones
- Si , 0 de lo contrario
- ,
- por aplicaciones de o Si
- Si
Estos difieren de las relaciones de un álgebra Kac-Moody (simétrizable) principalmente al permitir que las entradas diagonales de la matriz de Cartan no sean positivas. En otras palabras, permitimos que las raíces simples sean imaginarias, mientras que en un álgebra de Kac-Moody las raíces simples son siempre reales.
Un álgebra de Kac-Moody generalizada se obtiene de uno universal cambiando la matriz de Cartan, mediante las operaciones de matar algo en el centro, o tomando una extensión central , o agregando derivaciones externas .
Algunos autores dan una definición más general al eliminar la condición de que la matriz de Cartan debe ser simétrica. No se sabe mucho sobre estas álgebras de Kac-Moody generalizadas no simétricas y no parece haber ejemplos interesantes.
También es posible extender la definición a superalgebras.
Estructura
Un álgebra de Kac-Moody generalizada se puede calificar dando e i grado 1, f i grado -1 y h i grado 0.
La pieza de grado cero es una subálgebra abeliana dividida por los elementos h i y se llama subálgebra de Cartan .
Propiedades
La mayoría de las propiedades de las álgebras Kac-Moody generalizadas son extensiones directas de las propiedades habituales de las álgebras Kac-Moody (simétrizables).
- Un álgebra de Kac-Moody generalizada tiene una forma bilineal simétrica invariante tal que.
- Existe una fórmula de caracteres para los módulos de mayor peso , similar a la fórmula de caracteres de Weyl-Kac para las álgebras de Kac-Moody, excepto que tiene términos de corrección para las raíces simples imaginarias.
Ejemplos de
Se cree que la mayoría de las álgebras de Kac-Moody generalizadas no tienen características distintivas. Los interesantes son de tres tipos:
- Álgebras de Lie semisimples de dimensión finita .
- Álgebras afines de Kac-Moody
- Álgebras con subálgebra de Lorentzian Cartan cuya función denominadora es una forma automórfica de peso singular.
Parece haber solo un número finito de ejemplos del tercer tipo. Dos ejemplos son el álgebra de mentira de monstruos , sobre la que actúa el grupo de monstruos y se utiliza en las conjeturas de la monstruosa luz de luna , y el álgebra de mentira de monstruos falsos . Hay ejemplos similares asociados a algunos de los otros grupos simples esporádicos .
Es posible encontrar muchos ejemplos de álgebras de Kac-Moody generalizadas usando el siguiente principio: cualquier cosa que parezca un álgebra de Kac-Moody generalizada es un álgebra de Kac-Moody generalizada. Más precisamente, si un álgebra de Lie es calificada por un retículo de Lorentz y tiene una forma bilineal invariante y satisface algunas otras condiciones técnicas fácilmente comprobables, entonces es un álgebra de Kac-Moody generalizada. En particular, se pueden usar álgebras de vértices para construir un álgebra de Lie a partir de cualquier retícula uniforme . Si el enrejado es definido positivo da un álgebra de Lie semisimple de dimensión finita, si es semidefinito positivo da un álgebra de Lie afín, y si es de Lorentz, da un álgebra que satisface las condiciones anteriores, por lo que es un álgebra Kac-Moody generalizada . Cuando la celosía es la celosía Lorentziana unimodular de 26 dimensiones pares, la construcción da al monstruo falso el álgebra de Lie; todas las demás celosías de Lorentz parecen dar álgebras poco interesantes.
Referencias
- Kac, Victor G. (1994). Álgebras de Lie de dimensión infinita (3ª ed.). Nueva York: Cambridge University Press. ISBN 0-521-46693-8.
- Wakimoto, Minoru (2001). Álgebras de Lie de dimensión infinita . Providence, Rhode Island: Sociedad Americana de Matemáticas. ISBN 0-8218-2654-9.
- Ray, Urmie (2006). Formas Automórficas y Lie Superalgebras . Dordrecht: Springer. ISBN 1-4020-5009-7.