En matemáticas , un operador lineal T en un espacio de vector es semisimple si cada T - subespacio invariante tiene una complementaria T -invariant subespacio; [1] En otras palabras, el espacio de vector es un representación semisimple del operador T . De manera equivalente, un operador lineal es semisimple si su polinomio mínimo es un producto de distintos polinomios irreducibles. [2]
Un operador lineal en un espacio vectorial de dimensión finita sobre un campo algebraicamente cerrado es semisimple si y solo si es diagonalizable . [1] [3]
Sobre un campo perfecto, la descomposición de Jordan-Chevalley expresa un endomorfismocomo una suma de un endomorfismo semisimple sy un endomorfismo nilpotente n tal que tanto s como n son polinomios en x .
Ver también
Notas
- ↑ a b Lam (2001), pág. 39
- ↑ Jacobson 1979 , Un párrafo antes del Cap. II, § 5, Teorema 11.
- ^ Esto es trivial por la definición en términos de un polinomio mínimo, pero puede verse más directamente de la siguiente manera. Un operador así siempre tiene un vector propio; si es, además, semi-simple, entonces tiene un hiperplano invariante complementario, que a su vez tiene un vector propio y, por lo tanto, por inducción es diagonalizable. Por el contrario, los operadores diagonalizables se ven fácilmente como semi-simples, ya que los subespacios invariantes son sumas directas de espacios propios, y cualquier base para este espacio puede extenderse a una base propia.
Referencias
- Hoffman, Kenneth; Kunze, Ray (1971). "Operadores semi-simples". Álgebra lineal (2ª ed.). Englewood Cliffs, Nueva Jersey: Prentice-Hall, Inc. MR 0276251 .
- Jacobson, Nathan , álgebras de Lie , republicación del original de 1962. Dover Publications, Inc., Nueva York, 1979. ISBN 0-486-63832-4
- Lam, Tsit-Yuen (2001). Un primer curso en anillos no conmutativos . Textos de posgrado en matemáticas. 131 (2 ed.). Saltador. ISBN 0-387-95183-0.