En matemáticas , especialmente en el campo de la teoría de grupos , un subgrupo de Carter de un grupo finito G es un subgrupo autonormalizado de G que es nilpotente . Estos subgrupos fueron introducidos por Roger Carter y marcaron el comienzo de la teoría de grupos solucionables posterior a 1960 ( Wehrfritz 1999 ).
Carter (1961) demostró que cualquier grupo resoluble finito tiene un subgrupo de Carter, y todos sus subgrupos de Carter son subgrupos conjugados (y por lo tanto isomorfos). Si un grupo no tiene solución, no es necesario que tenga subgrupos de Carter: por ejemplo, el grupo alterno A 5 de orden 60 no tiene subgrupos de Carter. Vdovin ( 2006 , 2007 ) mostró que incluso si un grupo finito no se puede resolver, dos subgrupos de Carter son conjugados.
Un subgrupo de Carter es un subgrupo nilpotente máximo, debido a la condición de normalizador para los grupos nilpotentes, pero no todos los subgrupos nilpotentes máximos son subgrupos de Carter ( Ballester-Bolinches y Ezquerro 2006 , p. 100). Por ejemplo, cualquier subgrupo propio sin identidad del grupo no beliano de orden seis es un subgrupo nilpotente máximo, pero solo los de orden dos son subgrupos de Carter. Cada subgrupo que contiene un subgrupo de Carter de un grupo soluble también se autonormaliza, y cualquier subgrupo de Carter y su residuo nilpotente genera un grupo soluble ( Schenkman 1975 , VII.4.a).
( Gaschütz 1963 ) consideró los subgrupos de Carter como análogos de los subgrupos de Sylow y los subgrupos de Hall , y unificó su tratamiento con la teoría de las formaciones . En el lenguaje de las formaciones, un subgrupo p de Sylow es un grupo de cobertura para la formación de grupos p , un subgrupo π de Hall es un grupo de cobertura para la formación de grupos π , y un subgrupo de Carter es un grupo de cobertura para el formación de grupos nilpotentes ( Ballester-Bolinches & Ezquerro 2006 , p. 100). Junto con una generalización importante, las clases de Schunck , y una dualización importante, las clases de Fischer , las formaciones formaron los principales temas de investigación de finales del siglo XX en la teoría de los grupos solubles finitos.
Bernd Fischer introdujo una noción dual para los subgrupos de Carter en ( Fischer 1966 ). Un subgrupo de Fischer de un grupo es un subgrupo nilpotente que contiene todos los demás subgrupos nilpotentes que normaliza. Un subgrupo de Fischer es un subgrupo nilpotente máximo, pero no todos los subgrupos nilpotentes máximos son un subgrupo de Fischer: nuevamente el grupo no beliano de orden seis proporciona un ejemplo, ya que cada subgrupo propio sin identidad es un subgrupo nilpotente máximo, pero solo el subgrupo de orden tres es un subgrupo de Fischer ( Wehrfritz 1999 , p. 98).
Ver también
Referencias
- Ballester-Bolinches, Adolfo; Ezquerro, Luis M. (2006), Clases de grupos finitos , Matemáticas y sus aplicaciones (Springer), 584 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-1-4020-4718-3, Señor 2241927
- Carter, Roger W. (1961), "Subgrupos de autonormalización nilpotentes de grupos solubles", Mathematische Zeitschrift , 75 (2): 136-139, doi : 10.1007 / BF01211016
- Fischer, Bernd (1966), "Klassen konjugierter Untergruppen in endlichen auflösbaren Gruppen", Habilitationsschrift , Universität Frankfurt am Mainz
- Huppert, Bernd (1967), Endliche Gruppen (en alemán), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-03825-2, MR 0224703 , OCLC 527050, especialmente Kap VI, §12, págs. 736–743
- Gaschütz, Wolfgang (1962), "Zur Theorie der endlichen auflösbaren Gruppen", Mathematische Zeitschrift , 80 : 300–305, doi : 10.1007 / BF01162386 , ISSN 0025-5874 , MR 0179257
- Schenkman, Eugene (1975), teoría de grupos , Robert E. Krieger Publishing, ISBN 978-0-88275-070-5, MR 0460422
- Vdovin, Evgenii P. (2006), "Sobre el problema de conjugación para los subgrupos de Carter. (Ruso)", Sibirskiĭ Matematicheskiĭ Zhurnal , 47 (4): 725–730, MR 2265277traducción en Siberian Mathematical Journal 47 (2006), no. 4, 597–600.
- Vdovin, Evgenii P. (2007), "Subgrupos de Carter en grupos finitos casi simples. (Ruso)", Algebra i Logika , 46 (2): 157-216, MR 2356523
- Vil'yams, NN (2001) [1994], "Subgrupo Carter" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- Wehrfritz, Bertram AF (1999), grupos finitos , River Edge, Nueva Jersey: World Scientific Publishing Co. Inc., ISBN 978-981-02-3874-2, Señor 1733917