Categoría monoidal cartesiana
En matemáticas , específicamente en el campo conocido como teoría de categorías , una categoría monoidal donde el producto monoidal ("tensor") es el producto categórico se llama categoría monoidal cartesiana . Cualquier categoría con productos finitos (una "categoría de producto finita") puede considerarse una categoría monoidal cartesiana. En cualquier categoría monoidal cartesiana, el objeto terminal es la unidad monoidal. Dualmente , una categoría de coproducto finito monoidal con la estructura monoidal dada por el coproducto y la unidad del objeto inicial se llama categoría monoidal cocartesiana., y cualquier categoría de coproducto finito se puede considerar como una categoría monoidal cocartesiana.
Las categorías cartesianas con un functor Hom interno que es un functor adjunto al producto se denominan categorías cerradas cartesianas . [1]
Las categorías monoidales cartesianas tienen una serie de propiedades especiales e importantes, como la existencia de mapas diagonales Δ x : x → x ⊗ x y aumentos e x : x → I para cualquier objeto x . En las aplicaciones de la informática , podemos pensar en Δ como "duplicar datos" ye como "eliminar datos". Estos mapas convierten cualquier objeto en un comonoide . De hecho, cualquier objeto en una categoría monoidal cartesiana se convierte en un comonoide de una manera única.
En cada una de estas categorías de módulos dotados de una estructura monoidal cocartesiana coinciden los productos finitos y los coproductos (en el sentido de que el producto y el coproducto de un número finito de objetos son isomorfos). O más formalmente, si f : X 1 ∐ ... ∐ X n → X 1 × ... × X n es el mapa "canónico" del coproducto n -ario de los objetos X j a su producto, para un número natural n , en el caso de que el mapa f sea un isomorfismo , decimos que un biproducto para los objetos Xj es un objetoisomorfo ayjunto con mapas i j : X j → X y p j : X → X j de tal manera que el par ( X , { i j }) es un diagrama de coproducto para los objetos X j y el par ( X , { p j }) es un diagrama de producto para los objetos X j , y donde p j ∘ i j = id X j. Si, además, la categoría en cuestión tiene un objeto cero , de modo que para cualquier objeto A y B hay un mapa único 0 A , B : A → 0 → B , a menudo se sigue que p k ∘ i j =: δ ij , el delta de Kronecker , donde interpretamos 0 y 1 como los mapas 0 y los mapas de identidad de los objetos X j y X k , respectivamente. Consulte la categoría de preaditivos para obtener más información.
