En la teoría de categorías , el producto de dos (o más) objetos en una categoría es una noción diseñada para capturar la esencia detrás de las construcciones en otras áreas de las matemáticas , como el producto cartesiano de conjuntos , el producto directo de grupos o anillos y el producto. de espacios topológicos . Esencialmente, el producto de una familia de objetos es el objeto "más general" que admite un morfismo a cada uno de los objetos dados.
Definición
Producto de dos objetos
Fijar una categoría C . Deje que X 1 y X 2 ser objetos de C . Un producto de X 1 y X 2 es un objeto X , típicamente denotado X 1 × X 2 , equipado con un par de morfismos π 1 : X → X 1 , π 2 : X → X 2 que satisface la siguiente propiedad universal :
- Para cada objeto Y y cada par de morfismos f 1 : Y → X 1 , f 2 : Y → X 2 , existe un morfismo único f : Y → X 1 × X 2 tal que el siguiente diagrama conmuta :
La existencia de un producto puede depender de C o de X 1 y X 2 . Si existe, depende única de isomorfismo canónico, debido a la propiedad universal, por lo que se puede hablar de la del producto.
Los morfismos π 1 y π 2 se denominan proyecciones canónicas o morfismos de proyección . Dada Y y f 1 , f 2 , el único morfismo f se llama el producto de morfismos f 1 y f 2 y se denota ⟨ f 1 , f 2 ⟩ .
Producto de una familia arbitraria
En lugar de dos objetos, podemos comenzar con una familia arbitraria de objetos indexados por un conjunto I .
Dada una familia ( X i ) i ∈ I de objetos, un producto de la familia es un objeto X equipado con morfismos π i : X → X i que satisface la siguiente propiedad universal:
- Para cada objeto Y y cada familia de morfismos indexada a I f i : Y → X i , existe un morfismo único f : Y → X tal que los siguientes diagramas conmutan para todo i en I :
El producto se denota ∏ i ∈ I X i . Si I = {1, ..., n } , entonces se denota X 1 × × ⋯ X n y el producto de morfismos se denota ⟨ f 1 , ..., f n ⟩ .
Definición ecuacional
Alternativamente, el producto puede definirse mediante ecuaciones. Entonces, por ejemplo, para el producto binario:
- La existencia de f está garantizada por la existencia de la operación ⟨⋅, ⋅⟩ .
- Conmutatividad de los diagramas de arriba está garantizada por la igualdad ∀ f 1 , ∀ f 2 ∀ i ∈ {1, 2}, π i ∘ ⟨ f 1 , f 2 ⟩ = f i .
- Singularidad de f está garantizada por la igualdad ∀ g : Y → X 1 × X 2 , ⟨ π 1 ∘ g , π 2 ∘ g ⟩ = g . [1]
Como limite
El producto es un caso especial de límite . Esto puede verse usando una categoría discreta (una familia de objetos sin ningún morfismo, aparte de sus morfismos de identidad) como el diagrama requerido para la definición del límite. Los objetos discretos servirán como índice de los componentes y proyecciones. Si consideramos este diagrama como un funtor, es un funtor del conjunto de índices que consideré como una categoría discreta. La definición del producto coincide entonces con la definición del límite, { f } i es un cono y las proyecciones son el límite (cono límite).
Propiedad universal
Así como el límite es un caso especial de la construcción universal , también lo es el producto. A partir de la definición dada por la propiedad universal de los límites , tomar J como la categoría discreta con dos objetos, de modo que C J es simplemente la categoría de producto C × C . El funtor diagonal Δ: C → C × C asigna a cada objeto X el par ordenado ( X , X ) y a cada morfismo f el par ( f , f ) . El producto X 1 × X 2 en C está dada por un morfismo universales de la funtor Δ al objeto ( X 1 , X 2 ) en C × C . Este morfismo universal consta de un objeto X de C y un morfismo ( X , X ) → ( X 1 , X 2 ) que contiene proyecciones.
Ejemplos de
En la categoría de conjuntos , el producto (en el sentido teórico de la categoría) es el producto cartesiano. Dada una familia de conjuntos X i, el producto se define como
- ∏ yo ∈ yo X yo : = {( x yo ) yo ∈ yo | ∀ yo ∈ yo , x yo ∈ X yo }
con las proyecciones canónicas
- π j : ∏ yo ∈ yo X yo → X j , π j (( x yo ) yo ∈ yo ): = x j .
Dado cualquier conjunto Y con una familia de funciones f i : Y → X i , la flecha universales f : Y → Π i ∈ I X i se define por f ( y ) : = ( f i ( y )) i ∈ I .
Otros ejemplos:
- En la categoría de espacios topológicos , el producto es el espacio cuyo conjunto subyacente es el producto cartesiano y que lleva la topología del producto . La topología del producto es la topología más burda para la que todas las proyecciones son continuas .
- En la categoría de módulos sobre algún anillo R , el producto es el producto cartesiano con suma definida por componentes y multiplicación distributiva.
- En la categoría de grupos , el producto es el producto directo de grupos dado por el producto cartesiano con la multiplicación definida por componentes.
- En la categoría de gráficos , el producto es el producto tensorial de los gráficos .
- En la categoría de relaciones , el producto viene dado por la unión disjunta . (Esto puede resultar un poco sorprendente dado que la categoría de conjuntos es una subcategoría de la categoría de relaciones).
- En la categoría de variedades algebraicas , el producto viene dado por la incrustación Segre .
- En la categoría de monoides semi-abelianos , el producto viene dado por el monoide histórico .
- Un conjunto parcialmente ordenado puede tratarse como una categoría, utilizando la relación de orden como morfismos. En este caso, los productos y coproductos corresponden a los límites inferiores más grandes ( cumple ) y los límites superiores mínimos ( une ).
Discusión
Un ejemplo en el que el producto no existe: En la categoría de campos, el producto Q × F p no existe, ya que no existe ningún campo con homomorfismos tanto a Q como a F p .
Otro ejemplo: un producto vacío (es decir, I es el conjunto vacío ) es lo mismo que un objeto terminal , y algunas categorías, como la categoría de grupos infinitos, no tienen un objeto terminal: dado cualquier grupo infinito G hay infinitos morfismos, entonces G no puede ser terminal.
Si I es un conjunto de tal manera que todos los productos para familias indexadas con I existen, entonces uno puede tratar cada producto como un funtor C I → C . [2] La forma en que este functor mapea objetos es obvia. El mapeo de morfismos es sutil, porque el producto de los morfismos definidos anteriormente no encaja. Primero, considere el functor de producto binario, que es un bifunctor . Para f 1 : X 1 → Y 1 , f 2 : X 2 → Y 2 deberíamos encontrar un morfismo X 1 × X 2 → Y 1 × Y 2 . Elegimos ⟨ f 1 ∘ π 1 , f 2 ∘ π 2 ⟩ . Esta operación sobre morfismos se denomina producto cartesiano de morfismos . [3] En segundo lugar, considere el functor de producto general. Para las familias { X } i , { Y } i , f i : X i → Y i deberíamos encontrar un morfismo ∏ i ∈ I X i → ∏ i ∈ I Y i . Elegimos el producto de morfismos { f i ∘ π i } i .
Una categoría donde cada conjunto finito de objetos tiene un producto a veces se llama categoría cartesiana [3] (aunque algunos autores usan esta frase para significar "una categoría con todos los límites finitos").
El producto es asociativo . Supongamos que C es una categoría cartesiana, funtores de productos han sido elegidos como anteriormente, y 1 denota un objeto terminal de C . Entonces tenemos isomorfismos naturales
Estas propiedades son formalmente similares a las de un monoide conmutativo ; una categoría cartesiana con sus productos finitos es un ejemplo de una categoría monoidal simétrica .
Distributividad
Para cualquier objeto X , Y y Z de una categoría con productos y coproductos finitos, existe un morfismo canónico X × Y + X × Z → X × ( Y + Z ) , donde el signo más aquí denota el coproducto . Para ver esto, tenga en cuenta que la propiedad universal del coproducto X × Y + X × Z garantiza la existencia de flechas únicas completando el siguiente diagrama (las flechas inducidas están discontinuas):
La propiedad universal del producto X × ( Y + Z ) garantiza un morfismo único X × Y + X × Z → X × ( Y + Z ) inducido por las flechas punteadas en el diagrama anterior. Una categoría distributiva es aquella en la que este morfismo es en realidad un isomorfismo. Así, en una categoría distributiva, uno tiene el isomorfismo canónico
Ver también
- Coproducto : el dual del producto
- Functor diagonal : el adjunto izquierdo del functor de producto.
- Límite y colimits
- Igualada
- Límite inverso
- Categoría cerrada cartesiana
- Retroceso categórico
Referencias
- ^ Lambek J., Scott PJ (1988). Introducción a la lógica categórica de orden superior . Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 304.
- ^ Lane, S. Mac (1988). Categorías para el matemático en activo (1ª ed.). Nueva York: Springer-Verlag. pag. 37. ISBN 0-387-90035-7.
- ^ a b Michael Barr, Charles Wells (1999). Teoría de categorías - Notas de clase para ESSLLI . pag. 62. Archivado desde el original el 13 de abril de 2011.
- Adámek, Jiří; Horst Herrlich; George E. Strecker (1990). Categorías abstractas y concretas (PDF) . John Wiley e hijos. ISBN 0-471-60922-6.
- Barr, Michael; Charles Wells (1999). Teoría de categorías para ciencias de la computación (PDF) . Les Publications CRM Montreal (publicación PM023). Archivado desde el original (PDF) el 4 de marzo de 2016 . Consultado el 21 de marzo de 2016 . Capítulo 5.
- Mac Lane, Saunders (1998). Categorías para el matemático que trabaja . Textos de Posgrado en Matemáticas 5 (2ª ed.). Saltador. ISBN 0-387-98403-8.
- Definición 2.1.1 en Borceux, Francis (1994). Manual de álgebra categórica . Enciclopedia de las matemáticas y sus aplicaciones 50–51, 53 [es decir, 52]. Volumen 1. Cambridge University Press. pag. 39 . ISBN 0-521-44178-1.
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tiene texto extra ( ayuda )
enlaces externos
- Página web interactiva que genera ejemplos de productos en la categoría de conjuntos finitos. Escrito por Jocelyn Paine .
- Producto en nLab