En la teoría de categorías y sus aplicaciones a las matemáticas , un biproducto de una colección finita de objetos , en una categoría con cero objetos , es tanto un producto como un coproducto . En una categoría preaditiva, las nociones de producto y coproducto coinciden para colecciones finitas de objetos. [1] El biproducto es una generalización de sumas directas finitas de módulos .
Definición
Sea C una categoría con cero morfismos . Dada una colección finita (posiblemente vacía) de objetos A 1 , ..., A n en C , su biproducto es un objeto en C junto con morfismos
- en C (los morfismos de proyección )
- (los morfismos de incrustación )
satisfactorio
- , el morfismo de identidad de y
- , el morfismo cero por
y tal que
- es un producto para el y
- es un coproducto de la
Si C es preaditivo y se cumplen las dos primeras condiciones, entonces cada una de las dos últimas condiciones es equivalente acuando n> 0 . [2] Un producto vacío, o nular , es siempre un objeto terminal en la categoría, y el coproducto vacío es siempre un objeto inicial en la categoría. Así, un biproducto vacío o nular es siempre un objeto cero .
Ejemplos de
En la categoría de grupos abelianos , los biproductos siempre existen y están dados por la suma directa . [3] El objeto cero es el grupo trivial .
De manera similar, existen biproductos en la categoría de espacios vectoriales sobre un campo . El biproducto es nuevamente la suma directa y el objeto cero es el espacio vectorial trivial .
De manera más general, los biproductos existen en la categoría de módulos sobre un anillo .
Por otro lado, los biproductos no existen en la categoría de grupos . [4] Aquí, el producto es el producto directo , pero el coproducto es el producto gratuito .
Además, los biproductos no existen en la categoría de conjuntos . Porque, el producto está dado por el producto cartesiano , mientras que el coproducto está dado por la unión disjunta . Esta categoría no tiene un objeto cero.
El álgebra matricial de bloques se basa en biproductos en categorías de matrices . [5]
Propiedades
Si el biproducto existe para todos los pares de objetos A y B en la categoría C , y C tiene un objeto cero, entonces existen todos los biproductos finitos, lo que hace que C sea una categoría monoidal cartesiana y una categoría monoidal co-cartesiana.
Si el producto y coproducir ambos existen para algún par de objetos A 1 , A 2, entonces hay un morfismo único tal que
- por [ aclaración necesaria ]
De ello se deduce que el biproducto existe si y solo si f es un isomorfismo .
Si C es una categoría preaditiva , entonces todo producto finito es un biproducto y todo coproducto finito es un biproducto. Por ejemplo, si existe, entonces hay morfismos únicos tal que
- por
Para ver eso ahora también es un coproducto, y por lo tanto un biproducto, supongamos que tenemos morfismos por algún objeto . Definir Luego es un morfismo de a , y por .
En este caso siempre tenemos
Una categoría aditiva es una categoría preaditiva en la que existen todos los biproductos finitos. En particular, los biproductos siempre existen en categorías abelianas .
Referencias
- ↑ Borceux, 4-5
- ^ Saunders Mac Lane - Categorías para el matemático que trabaja, segunda edición, página 194.
- ↑ Borceux, 8
- ↑ Borceux, 7
- ^ HD Macedo, JN Oliveira, Tipificación de álgebra lineal: Un enfoque orientado a biproductos , Science of Computer Programming, Volumen 78, Número 11, 1 de noviembre de 2013, Páginas 2160-2191, ISSN 0167-6423 , doi : 10.1016 / j.scico. 2012.07.012 .
- Borceux, Francis (2008). Manual de álgebra categórica . Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 978-0-521-06122-3.