En matemáticas , el teorema de Casey , también conocido como el teorema de Ptolomeo generalizado , es un teorema en geometría euclidiana que lleva el nombre del matemático irlandés John Casey .
Formulación del teorema
Dejar ser un círculo de radio . Dejar ser (en ese orden) cuatro círculos no intersectantes que se encuentran dentro y tangente a él. Denotamos porla longitud del bitangente común exterior de los círculos. Entonces: [1]
Tenga en cuenta que en el caso degenerado, donde los cuatro círculos se reducen a puntos, este es exactamente el teorema de Ptolomeo .
Prueba
La siguiente prueba es atribuible [2] a Zacharias. [3] Denota el radio del círculo. por y su punto de tangencia con el círculo por . Usaremos la notaciónpara los centros de los círculos. Tenga en cuenta que del teorema de Pitágoras ,
Intentaremos expresar esta longitud en términos de los puntos . Por la ley de los cosenos en triangulo,
Desde los circulos tangentes entre sí:
Dejar ser un punto en el círculo . Según la ley de los senos en triángulo:
Por lo tanto,
y sustituyéndolos en la fórmula anterior:
Y finalmente, la longitud que buscamos es
Ahora podemos evaluar el lado izquierdo, con la ayuda del teorema de Ptolomeo original aplicado al cuadrilátero inscrito :
Más generalizaciones
Se puede ver que los cuatro círculos no necesitan estar dentro del círculo grande. De hecho, también pueden ser tangentes desde el exterior. En ese caso, se debe realizar el siguiente cambio: [4]
Si son tangentes del mismo lado de (tanto dentro como fuera), es la longitud de la tangente común exterior.
Si son tangentes de diferentes lados de (uno dentro y otro fuera), es la longitud de la tangente común interior.
Lo contrario del teorema de Casey también es cierto. [4] Es decir, si se cumple la igualdad, los círculos son tangentes a un círculo común.
Aplicaciones
El teorema de Casey y su inverso se pueden usar para probar una variedad de afirmaciones en geometría euclidiana . Por ejemplo, la prueba conocida más corta [1] : 411 del teorema de Feuerbach usa el teorema inverso.
Referencias
- ↑ a b Casey, J. (1866). "Sobre las ecuaciones y propiedades: (1) del sistema de círculos que tocan tres círculos en un plano; (2) del sistema de esferas que tocan cuatro esferas en el espacio; (3) del sistema de círculos que tocan tres círculos en una esfera ; (4) del sistema de cónicas inscritas en una cónica y tocando tres cónicas inscritas en un plano ". Actas de la Real Academia Irlandesa . 9 : 396–423. JSTOR 20488927 .
- ^ Bottema, O. (1944). Hoofdstukken uit de Elementaire Meetkunde . (traducción de Reinie Erné como Topics in Elementary Geometry, Springer 2008, de la segunda edición ampliada publicada por Epsilon-Uitgaven 1987).
- ^ Zacharias, M. (1942). "Der Caseysche Satz". Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung . 52 : 79–89.
- ^ a b Johnson, Roger A. (1929). Geometría moderna . Houghton Mifflin, Boston (facsímil republicado por Dover 1960, 2007 como Advanced Euclidean Geometry).
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Teorema de Casey" . MathWorld .
- Shailesh Shirali: Sobre un teorema de Ptolomeo generalizado [ enlace muerto permanente ]
- Crux Mathematicorum volumen 22 número 2 (contiene el artículo anterior)