En la trigonometría , la ley de los senos , ley de los senos , fórmula sinusoidal , o de reglas sinusoidal es una ecuación que relaciona las longitudes de los lados de un triángulo (cualquier forma) a los senos de sus ángulos. De acuerdo con la ley,
donde una , b , y c son las longitudes de los lados de un triángulo, y A , B , y C son los ángulos opuestos (ver la figura a la derecha), mientras que R es el radio de del triángulo circunferencia circunscrita . Cuando no se usa la última parte de la ecuación, la ley a veces se establece usando los recíprocos ;
La ley de los senos se puede utilizar para calcular los lados restantes de un triángulo cuando se conocen dos ángulos y un lado, una técnica conocida como triangulación . También se puede utilizar cuando se conocen dos lados y uno de los ángulos no cerrados. En algunos de estos casos, el triángulo no está determinado de forma única por estos datos (llamado caso ambiguo ) y la técnica da dos valores posibles para el ángulo encerrado.
La ley de los senos es una de las dos ecuaciones trigonométricas que se aplican comúnmente para encontrar longitudes y ángulos en triángulos escalenos , siendo la otra la ley de los cosenos .
La ley de los senos se puede generalizar a dimensiones superiores en superficies con curvatura constante. [1]
Historia
Según Ubiratàn D'Ambrosio y Helaine Selin , la ley esférica de los senos se descubrió en el siglo X. Se le atribuye de diversas formas a Abu-Mahmud Khojandi , Abu al-Wafa 'Buzjani , Nasir al-Din al-Tusi y Abu Nasr Mansur . [2] Todos ellos eran matemáticos y científicos persas.
Ibn Mu'adh al-Jayyani Es El libro de arcos desconocidos de una esfera en el siglo 11 contiene la ley general de senos. [3] La ley plana de los senos fue declarada más tarde en el siglo XIII por Nasīr al-Dīn al-Tūsī . En su Figura sobre el sector , estableció la ley de los senos para triángulos planos y esféricos, y proporcionó pruebas para esta ley. [4]
Según Glen Van Brummelen , "La Ley de los senos es realmente el fundamento de Regiomontanus para sus soluciones de triángulos rectángulos en el Libro IV, y estas soluciones son a su vez las bases para sus soluciones de triángulos generales". [5] Regiomontanus fue un matemático alemán del siglo XV.
Prueba
El área T de cualquier triángulo se puede escribir como la mitad de su base por su altura. Al seleccionar un lado del triángulo como base, la altura del triángulo en relación con esa base se calcula como la longitud del otro lado multiplicada por el seno del ángulo entre el lado elegido y la base. Por lo tanto, dependiendo de la selección de la base, el área del triángulo se puede escribir como cualquiera de:
Multiplicando estos por 2/a B C da
El caso ambiguo de la solución triangular
Cuando se usa la ley de los senos para encontrar un lado de un triángulo, se produce un caso ambiguo cuando se pueden construir dos triángulos separados a partir de los datos proporcionados (es decir, hay dos posibles soluciones diferentes del triángulo). En el caso que se muestra a continuación, son triángulos ABC y AB′C ′ .
Dado un triángulo general, se deberían cumplir las siguientes condiciones para que el caso sea ambiguo:
- La única información conocida sobre el triángulo es el ángulo A y los lados una y c .
- El ángulo A es agudo (es decir, A <90 °).
- El lado a es más corto que el lado c (es decir, a < c ).
- El lado a es más largo que la altitud h desde el ángulo B , donde h = c sen A (es decir, a > h ).
Si todas las condiciones anteriores son verdaderas, entonces cada uno de los ángulos C y C ′ produce un triángulo válido, lo que significa que las dos siguientes son verdaderas:
A partir de ahí podemos encontrar los correspondientes B y b o B ′ y b ′ si es necesario, donde b es el lado delimitado por los ángulos A y C y b ′ delimitado por A y C ′ .
Sin más información es imposible decidir cuál es el triángulo que se solicita.
Ejemplos de
Los siguientes son ejemplos de cómo resolver un problema usando la ley de los senos.
Ejemplo 1
Dado: lado a = 20 , lado c = 24 y ángulo C = 40 ° . Se desea el ángulo A.
Usando la ley de los senos, llegamos a la conclusión de que
Tenga en cuenta que la solución potencial A = 147,61 ° se excluye porque eso necesariamente daría A + B + C > 180 ° .
Ejemplo 2
Si las longitudes de dos lados del triángulo un y b son iguales a x , el tercer lado tiene una longitud c , y los ángulos opuestos a los lados de longitudes a , b , y c son A , B , y C , respectivamente, entonces
Relación con la circunferencia
En la identidad
el valor común de las tres fracciones es en realidad el diámetro de la circunferencia del triángulo . Este resultado se remonta a Ptolomeo . [6] [7]
Prueba
Como se muestra en la figura, deje que haya un círculo con inscripciones y otro inscrito que pasa a través del centro del círculo O . Latiene un ángulo central de y por lo tanto . Desde es un triángulo rectángulo,
dónde es el radio del círculo circunscrito del triángulo. [7] Ángulos y tienen el mismo ángulo central, por lo que son iguales:. Por lo tanto,
Reordenamiento de rendimientos
Repitiendo el proceso de creación con otros puntos da
Relación con el área del triángulo
El área de un triángulo está dada por , dónde es el ángulo encerrado por los lados de longitudes a y b . Sustituyendo la ley del seno en esta ecuación se obtiene
Tomando como el radio de circunscripción, [8]
También se puede demostrar que esta igualdad implica
donde T es el área del triángulo y s es el semiperímetro
La segunda igualdad anterior se simplifica fácilmente a la fórmula de Heron para el área.
La regla del seno también se puede usar para derivar la siguiente fórmula para el área del triángulo: Denotando la semi-suma de los senos de los ángulos como , tenemos [9]
dónde es el radio de la circunferencia: .
Curvatura
La ley de los senos adquiere una forma similar en presencia de curvatura.
Caja esférica
En el caso esférico, la fórmula es:
Aquí, un , b , y c son los grandes-arcos (lados) del triángulo (y, debido a que es una esfera unidad, equivalente a los ángulos en el centro de la esfera subtendido por estos arcos). A , B y C son los ángulos esféricos opuestos a sus respectivos arcos (es decir, ángulos diedros entre sus grandes círculos).
Prueba de vector
Considere una esfera unitaria con tres vectores unitarios OA , OB y OC dibujados desde el origen hasta los vértices del triángulo. Así, los ángulos alfa , β , y γ son los ángulos de un , b , y c , respectivamente. El arco BC subtiende un ángulo de magnitud a en el centro. Introduzca una base cartesiana con OA a lo largo del eje z y OB en el plano xz formando un ángulo c con el eje z . El vector OC proyectos a EN en la xy un plano y el ángulo entre EN y el x eje x es A . Por tanto, los tres vectores tienen componentes:
El producto triple escalar , OA · ( OB × OC ) es el volumen del paralelepípedo formado por los vectores de posición de los vértices del triángulo esférico OA , OB y OC . Este volumen no varía con el sistema de coordenadas específico utilizado para representar OA , OB y OC . El valor del producto triple escalar OA · ( OB × OC ) es el determinante 3 × 3 con OA , OB y OC como sus filas. Con el eje z a lo largo de OA, el cuadrado de este determinante es
Repetir este cálculo con el eje z a lo largo de OB da (sin c sin a sin B ) 2 , mientras que con el eje z a lo largo de OC es (sin a sin b sin C ) 2 . Al igualar estas expresiones y dividirlas por (pecado a pecado b pecado c ) 2 da
donde V es el volumen del paralelepípedo formado por el vector de posición de los vértices del triángulo esférico. En consecuencia, sigue el resultado.
Es fácil ver cómo para triángulos esféricos pequeños, cuando el radio de la esfera es mucho mayor que los lados del triángulo, esta fórmula se convierte en la fórmula plana en el límite, ya que
y lo mismo para el pecado b y el pecado c .
Prueba geométrica
Considere una esfera unitaria con:
Punto de construcción y punto tal que
Punto de construcción tal que
Por tanto, se puede ver que y
Darse cuenta de es la proyección de en el avión . Por lo tanto
Por trigonometría básica, tenemos:
Pero
Combinándolos tenemos:
Aplicando un razonamiento similar, obtenemos la ley esférica del seno:
Otras pruebas
Se puede construir una demostración puramente algebraica a partir de la ley esférica de los cosenos . De la identidad y la expresión explícita para de la ley esférica de los cosenos
Dado que el lado derecho es invariante bajo una permutación cíclica de la regla del seno esférico sigue inmediatamente.
La figura usada en la demostración geométrica anterior se usa y también se proporciona en Banerjee [10] (ver Figura 3 en este artículo) para derivar la ley del seno usando álgebra lineal elemental y matrices de proyección.
Caso hiperbólico
En geometría hiperbólica cuando la curvatura es -1, la ley de los senos se convierte en
En el caso especial en el que B es un ángulo recto, se obtiene
que es el análogo de la fórmula en geometría euclidiana que expresa el seno de un ángulo como el lado opuesto dividido por la hipotenusa.
- Véase también triángulo hiperbólico .
Formulación unificada
Defina una función seno generalizada, dependiendo también de un parámetro real K :
La ley de los senos en curvatura constante K se lee como [1]
Sustituyendo K = 0 , K = 1 y K = −1 , se obtienen respectivamente los casos euclidiano, esférico e hiperbólico de la ley de los senos descritos anteriormente.
Let p K ( r ) indica la circunferencia de un círculo de radio r en un espacio de curvatura constante K . Entonces p K ( r ) = 2π sin K r . Por tanto, la ley de los senos también se puede expresar como:
Esta formulación fue descubierta por János Bolyai . [11]
Mayores dimensiones
Para un simplex n- dimensional (es decir, triángulo ( n = 2 ), tetraedro ( n = 3 ), pentatopo ( n = 4 ), etc.) en el espacio euclidiano n- dimensional , el valor absoluto del seno polar ( psin ) de los vectores normales de las facetas que se encuentran en un vértice , dividido por la hiperarea de la faceta opuesta al vértice es independiente de la elección del vértice. Escribiendo V para el hipervolumen del simplex n- dimensional y P para el producto de las hiperareas de sus facetas ( n -1) -dimensionales, la razón común es
Por ejemplo, un tetraedro tiene cuatro facetas triangulares. El valor absoluto del seno polar de los vectores normales a las tres facetas que comparten un vértice, dividido por el área de la cuarta faceta, no dependerá de la elección del vértice:
Ver también
- Gersonides
- Fórmula de medio lado : para resolver triángulos esféricos
- Ley de los cosenos
- Ley de las tangentes
- Ley de los cotangentes
- Fórmula de Mollweide : para comprobar soluciones de triángulos
- Solución de triángulos
- Topografía
Referencias
- ^ a b "Ley generalizada de los senos" . mundo matemático .
- ↑ Sesiano solo menciona a al-Wafa como colaborador. Sesiano, Jacques (2000) "Matemáticas islámicas" págs. 137-157, en Selin, Helaine; D'Ambrosio, Ubiratan (2000), Matemáticas a través de culturas: la historia de las matemáticas no occidentales , Springer , ISBN 1-4020-0260-2
- ^ O'Connor, John J .; Robertson, Edmund F. , "Abu Abd Allah Muhammad ibn Muadh Al-Jayyani" , archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas , Universidad de St Andrews.
- ^ Berggren, J. Lennart (2007). "Matemáticas en el Islam medieval". Las matemáticas de Egipto, Mesopotamia, China, India e Islam: un libro de consulta . Prensa de la Universidad de Princeton. pag. 518. ISBN 978-0-691-11485-9.
- ^ Glen Van Brummelen (2009). " Las matemáticas de los cielos y la tierra: la historia temprana de la trigonometría ". Prensa de la Universidad de Princeton. p.259. ISBN 0-691-12973-8
- ^ Coxeter, HSM y Greitzer, SL Geometría revisada . Washington, DC: Matemáticas. Assoc. Amer., Págs. 1-3, 1967
- ^ a b "Ley de los senos" . www.pballew.net . Consultado el 18 de septiembre de 2018 .
- ^ Videos de matemáticas del Sr.T (2015-06-10), Área de un triángulo y radio de su círculo circunscrito , recuperado el 18 de septiembre de 2018
- ^ Mitchell, Douglas W., "Una fórmula de área tipo Heron en términos de senos", Mathematical Gazette 93, marzo de 2009, 108-109.
- ^ Banerjee, Sudipto (2004), "Revisitando la trigonometría esférica con proyectores ortogonales", The College Mathematics Journal , Asociación Matemática de América, 35 : 375–381 Texto en líneaCS1 maint: posdata ( enlace )
- ^ Katok, Svetlana (1992). Grupos fucsianos . Chicago: Prensa de la Universidad de Chicago. pag. 22 . ISBN 0-226-42583-5.
enlaces externos
- "Teorema del seno" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- La ley de los senos al cortar el nudo
- Grado de curvatura
- Encontrar el seno de 1 grado
- Ley generalizada de los senos a dimensiones superiores.
- Ley de los senos - ProofWiki