En matemáticas , un bitangente a una curva C es una línea L que toca C en dos puntos distintos P y Q y que tiene la misma dirección que C en estos puntos. Es decir, L es una línea tangente en P y en Q .
Bitangentes de curvas algebraicas
En general, una curva algebraica tendrá infinitas líneas secantes , pero solo un número finito de bitangentes.
El teorema de Bézout implica que una curva plana con un bitangente debe tener un grado al menos 4. El caso de los 28 bitangentes de un cuártico fue una pieza célebre de geometría del siglo XIX, y se muestra una relación con las 27 líneas de la superficie cúbica .
Bitangentes de polígonos
Los cuatro bitangentes de dos polígonos convexos disjuntos se pueden encontrar de manera eficiente mediante un algoritmo basado en la búsqueda binaria en el que se mantiene un puntero de búsqueda binaria en las listas de bordes de cada polígono y se mueve uno de los punteros hacia la izquierda o hacia la derecha en cada paso dependiendo de dónde. las líneas tangentes a los bordes en los dos punteros se cruzan. Este cálculo bitangente es una subrutina clave en las estructuras de datos para mantener dinámicamente cascos convexos ( Overmars y van Leeuwen 1981 ). Pocchiola y Vegter ( 1996a , 1996b ) describen un algoritmo para enumerar eficientemente todos los segmentos de línea bitangente que no cruzan ninguna de las otras curvas en un sistema de múltiples curvas convexas disjuntas, utilizando una técnica basada en pseudotriangulación .
Los bitangentes se pueden utilizar para acelerar el enfoque del gráfico de visibilidad para resolver el problema del camino más corto euclidiano : el camino más corto entre una colección de obstáculos poligonales solo puede entrar o salir del límite de un obstáculo a lo largo de uno de sus bitangentes, por lo que el camino más corto puede ser encontrado aplicando el algoritmo de Dijkstra a un subgrafo del gráfico de visibilidad formado por los bordes de visibilidad que se encuentran en líneas bitangentes ( Rohnert 1986 ).
Conceptos relacionados
Una bitangente se diferencia de una recta secante en que una recta secante puede cruzar la curva en los dos puntos en que la cruza. También se pueden considerar bitangentes que no son líneas; por ejemplo, el conjunto de simetría de una curva es el lugar geométrico de los centros de los círculos que son tangentes a la curva en dos puntos.
Los bitangentes a pares de círculos figuran de manera prominente en la construcción de 1826 de Jakob Steiner de los círculos Malfatti , en el problema de la correa de calcular la longitud de una correa que conecta dos poleas, en el teorema de Casey que caracteriza conjuntos de cuatro círculos con un círculo tangente común, y en Teorema de Monge sobre la colinealidad de los puntos de intersección de ciertos bitangentes.
Referencias
- Overmars, MH ; van Leeuwen, J. (1981), "Mantenimiento de configuraciones en el plano", Journal of Computer and System Sciences , 23 (2): 166-204, doi : 10.1016 / 0022-0000 (81) 90012-X , hdl : 1874/15899.
- Pocchiola, Michel; Vegter, Gert (1996a), "El complejo de visibilidad" , International Journal of Computational Geometry and Applications , 6 (3): 297–308, doi : 10.1142 / S0218195996000204 , Versión preliminar en el Noveno Simposio ACM sobre Geometría Computacional (1993) 328– 337]., Archivado desde el original el 3 de diciembre de 2006 , consultado el 12 de abril de 2007.
- Pocchiola, Michel; Vegter, Gert (1996b), "Complejos de visibilidad de barrido topológico mediante pseudotriangulaciones", Geometría discreta y computacional , 16 (4): 419–453, doi : 10.1007 / BF02712876.
- Rohnert, H. (1986), "Rutas más cortas en el plano con obstáculos poligonales convexos", Information Processing Letters , 23 (2): 71–76, doi : 10.1016 / 0020-0190 (86) 90045-1.