En la geometría de triángulos , el círculo y el círculo de nueve puntos de un triángulo son internamente tangentes entre sí en el punto Feuerbach del triángulo. El punto de Feuerbach es un centro triangular , lo que significa que su definición no depende de la ubicación y escala del triángulo. Aparece como X (11) en la Enciclopedia de centros triangulares de Clark Kimberling , y lleva el nombre de Karl Wilhelm Feuerbach . [1] [2]
El teorema de Feuerbach , publicado por Feuerbach en 1822, [3] establece de manera más general que el círculo de nueve puntos es tangente a los tres excírculos del triángulo, así como a su círculo. [4] Una prueba muy breve de este teorema basada en el teorema de Casey sobre los bitangentes de cuatro círculos tangentes a un quinto círculo fue publicada por John Casey en 1866; [5] El teorema de Feuerbach también se ha utilizado como un caso de prueba para la demostración automática de teoremas . [6] Los tres puntos de tangencia con los excirculos forman el triángulo de Feuerbach del triángulo dado.
Construcción
El círculo de un triángulo ABC es un círculo que es tangente a los tres lados del triángulo. Su centro, el incentro del triángulo, se encuentra en el punto donde se cruzan las tres bisectrices internas del ángulo del triángulo.
El círculo de nueve puntos es otro círculo definido a partir de un triángulo. Se llama así porque pasa por nueve puntos significativos del triángulo, entre los cuales los más simples de construir son los puntos medios de los lados del triángulo. El círculo de nueve puntos pasa por estos tres puntos medios; por tanto, es la circunferencia del triángulo medial .
Estos dos círculos se encuentran en un solo punto, donde son tangentes entre sí. Ese punto de tangencia es el punto de Feuerbach del triángulo.
Asociados con el incírculo de un triángulo hay tres círculos más, los excirculos . Estos son círculos que son tangentes a las tres líneas que atraviesan los lados del triángulo. Cada círculo toca una de estas líneas desde el lado opuesto del triángulo y está en el mismo lado que el triángulo de las otras dos líneas. Como el incírculo, los excirculos son todos tangentes al círculo de nueve puntos. Sus puntos de tangencia con el círculo de nueve puntos forman un triángulo, el triángulo de Feuerbach.
Propiedades
El punto de Feuerbach se encuentra en la línea que pasa por los centros de los dos círculos tangentes que lo definen. Estos centros son el incentro y el centro de nueve puntos del triángulo. [1] [2]
Dejar , , y ser las tres distancias del punto de Feuerbach a los vértices del triángulo medial (los puntos medios de los lados BC = a, CA = b , y AB = c , respectivamente, del triángulo original). Entonces, [7] [8]
o, de manera equivalente, la mayor de las tres distancias es igual a la suma de las otras dos. Específicamente, tenemosdonde O es el circuncentro del triángulo de referencia e I es su incentro . [8] : Propos. 3
La última propiedad también es válida para el punto de tangencia de cualquiera de los excirculos con el círculo de nueve puntos: la mayor distancia desde esta tangencia a uno de los puntos medios del lado del triángulo original es igual a la suma de las distancias a los otros dos puntos medios del lado. [8]
Si el círculo del triángulo ABC toca los lados BC, CA, AB en X , Y y Z respectivamente, y los puntos medios de estos lados son respectivamente P , Q y R , entonces con el punto F de Feuerbach los triángulos FPX , FQY y FRZ son similares a los triángulos AOI, BOI, COI respectivamente. [8] : Propos. 4
Coordenadas
Las coordenadas trilineales para el punto de Feuerbach son [2]
Sus coordenadas baricéntricas son [8]
donde s es el semiperímetro del triángulo ( a + b + c) / 2.
Las tres líneas desde los vértices del triángulo original a través de los vértices correspondientes del triángulo de Feuerbach se encuentran en otro centro del triángulo, enumerado como X (12) en la Enciclopedia de centros de triángulos. Sus coordenadas trilineales son: [2]
Referencias
- ^ a b Kimberling, Clark (1994), "Puntos centrales y líneas centrales en el plano de un triángulo", Revista de matemáticas , 67 (3): 163-187, doi : 10.1080 / 0025570X.1994.11996210 , JSTOR 2690608 , MR 1573021.
- ↑ a b c d Encyclopedia of Triangle Centers Archivado el 19 de abril de 2012 en Wayback Machine , consultado el 24 de octubre de 2014.
- ^ Feuerbach, Karl Wilhelm ; Buzengeiger, Carl Heribert Ignatz (1822), Eigenschaften einiger merkwürdigen Punkte des geradlinigen Dreiecks und mehrerer durch sie bestimmten Linien und Figuren. Eine analytisch-trigonometrische Abhandlung (edición de monografía), Núremberg: Wiessner.
- ^ Scheer, Michael JG (2011), "Una prueba vectorial simple del teorema de Feuerbach" (PDF) , Forum Geometricorum , 11 : 205-210, arXiv : 1107.1152 , MR 2877268.
- ^ Casey, J. (1866), "Sobre las ecuaciones y propiedades: (1) del sistema de círculos que tocan tres círculos en un plano; (2) del sistema de esferas que tocan cuatro esferas en el espacio; (3) del sistema de círculos tocando tres círculos en una esfera; (4) del sistema de cónicas inscritas en una cónica y tocando tres cónicas inscritas en un plano ", Actas de la Real Academia Irlandesa , 9 : 396–423, JSTOR 20488927. Ver en particular la parte inferior de la p. 411.
- ^ Chou, Shang-Ching (1988), "Una introducción al método de Wu para la demostración de teoremas mecánicos en geometría", Journal of Automated Reasoning , 4 (3): 237-267, doi : 10.1007 / BF00244942 , MR 0975146 , S2CID 12368370.
- ^ Weisstein, Eric W. "Punto Feuerbach" . MathWorld .
- ↑ a b c d e Sa ́ndor Nagydobai Kiss, "Una propiedad de distancia del punto de Feuerbach y su extensión", Forum Geometricorum 16, 2016, 283-290. http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201634.pdf
Otras lecturas
- Thébault, Victor (1949), "Sobre los puntos de Feuerbach", American Mathematical Monthly , 56 (8): 546–547, doi : 10.2307 / 2305531 , JSTOR 2305531 , MR 0033039.
- Emelyanov, Lev; Emelyanova, Tatiana (2001), "Una nota sobre el punto de Feuerbach", Forum Geometricorum , 1 : 121-124 (electrónico), MR 1891524.
- Suceavă, Bogdan; Yiu, Paul (2006), "El punto de Feuerbach y las líneas de Euler", Forum Geometricorum , 6 : 191-197, MR 2282236.
- Vonk, Jan (2009), "El punto de Feuerbach y los reflejos de la línea de Euler", Forum Geometricorum , 9 : 47–55, MR 2534378.
- Nguyen, Minh Ha; Nguyen, Pham Dat (2012), "Pruebas sintéticas de dos teoremas relacionados con el punto de Feuerbach", Forum Geometricorum , 12 : 39–46, MR 2955643.