teoría de la catástrofe
En matemáticas , la teoría de las catástrofes es una rama de la teoría de la bifurcación en el estudio de los sistemas dinámicos ; es también un caso especial particular de la teoría de la singularidad más general en geometría .
La teoría de la bifurcación estudia y clasifica los fenómenos caracterizados por cambios bruscos de comportamiento derivados de pequeños cambios en las circunstancias, analizando cómo la naturaleza cualitativa de las soluciones de ecuaciones depende de los parámetros que aparecen en la ecuación. Esto puede conducir a cambios repentinos y dramáticos, por ejemplo, el momento y la magnitud impredecibles de un deslizamiento de tierra .
La teoría de las catástrofes se originó con el trabajo del matemático francés René Thom en la década de 1960 y se hizo muy popular gracias a los esfuerzos de Christopher Zeeman en la década de 1970. Considera el caso especial en el que el equilibrio estable a largo plazo puede identificarse como el mínimo de una función potencial suave y bien definida (función de Lyapunov ).
A fines de la década de 1970, comenzaron a criticarse las aplicaciones de la teoría de catástrofes a áreas fuera de su alcance, especialmente en biología y ciencias sociales. [1] [2] Zahler y Sussman, en un artículo de 1977 en Nature , se refirieron a tales aplicaciones como "caracterizadas por un razonamiento incorrecto, suposiciones exageradas, consecuencias erróneas y afirmaciones exageradas". [3] Como resultado, la teoría de catástrofes se ha vuelto menos popular en las aplicaciones. [4]
Pequeños cambios en ciertos parámetros de un sistema no lineal pueden hacer que aparezcan o desaparezcan equilibrios, o que cambien de atracción a repulsión y viceversa, lo que lleva a grandes y repentinos cambios en el comportamiento del sistema. Sin embargo, examinada en un espacio de parámetros más grande, la teoría de catástrofes revela que tales puntos de bifurcación tienden a ocurrir como parte de estructuras geométricas cualitativas bien definidas.
La teoría de catástrofes analiza los puntos críticos degenerados de la función potencial, puntos en los que no solo la primera derivada, sino una o más derivadas superiores de la función potencial también son cero. Estos se llaman los gérmenes de las geometrías de catástrofe. La degeneración de estos puntos críticos se puede desplegar expandiendo la función potencial como una serie de Taylor en pequeñas perturbaciones de los parámetros.
