En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas abstractas , una equivalencia de categorías es una relación entre dos categorías que establece que estas categorías son "esencialmente iguales". Hay numerosos ejemplos de equivalencias categóricas de muchas áreas de las matemáticas. Establecer una equivalencia implica demostrar fuertes similitudes entre las estructuras matemáticas en cuestión. En algunos casos, estas estructuras pueden parecer no relacionadas a un nivel superficial o intuitivo, lo que hace que la noción sea bastante poderosa: crea la oportunidad de "traducir" teoremas entre diferentes tipos de estructuras matemáticas, sabiendo que se conserva el significado esencial de esos teoremas. bajo la traducción.
Si una categoría es equivalente al opuesto (o dual) de otra categoría, entonces se habla de una dualidad de categorías y se dice que las dos categorías son dualmente equivalentes .
Una equivalencia de categorías consiste en un funtor entre las categorías involucradas, que debe tener un funtor "inverso". Sin embargo, en contraste con la situación común de los isomorfismos en un entorno algebraico, el compuesto del funtor y su "inverso" no es necesariamente el mapeo de identidad. En cambio, es suficiente que cada objeto sea naturalmente isomorfo a su imagen bajo esta composición. Por lo tanto, uno puede describir los funtores como "inversos hasta el isomorfismo". De hecho, existe un concepto de isomorfismo de categorías donde se requiere una forma estricta de funtor inverso, pero esto tiene un uso mucho menos práctico que el concepto de equivalencia .
Formalmente, dadas dos categorías C y D , una equivalencia de categorías consiste en un funtor F : C → D , un funtor G : D → C , y dos isomorfismos naturales ε : FG → I D y η : I C → GF . Aquí FG : D → D y GF : C → C denotan las respectivas composiciones de F y G , y IC : C → C e I D : D → D denotan los funtores identidad en C y D , asignando cada objeto y morfismo a sí mismo. Si F y G son funtores contravariantes, se habla de una dualidad de categorías .
A menudo no se especifican todos los datos anteriores. Por ejemplo, decimos que las categorías C y D son equivalentes (respectivamente dualmente equivalentes ) si existe una equivalencia (respectivamente dualidad) entre ellas. Además, decimos que F "es" una equivalencia de categorías si existe un funtor inverso G e isomorfismos naturales como los anteriores. Sin embargo, tenga en cuenta que el conocimiento de F generalmente no es suficiente para reconstruir G y los isomorfismos naturales: puede haber muchas opciones (consulte el ejemplo a continuación).
Este es un criterio bastante útil y comúnmente aplicado, porque uno no tiene que construir explícitamente el G "inverso" y los isomorfismos naturales entre FG , GF y los funtores de identidad. Por otro lado, aunque las propiedades anteriores garantizan la existencia de una equivalencia categórica (dada una versión suficientemente sólida del axioma de elección en la teoría de conjuntos subyacente), los datos que faltan no están completamente especificados y, a menudo, hay muchas opciones. Es una buena idea especificar explícitamente las construcciones que faltan siempre que sea posible. Debido a esta circunstancia, un funtor con estas propiedades a veces se denomina equivalencia débil de categorías .. (Desafortunadamente, esto entra en conflicto con la terminología de la teoría del tipo de homotopía ).