En la teoría de categorías , dos categorías C y D son isomorfas si existen functores F : C → D y G : D → C que son mutuamente inversos entre sí, es decir, FG = 1 D (el funtor de identidad en D ) y GF = 1 C . [1] Esto significa que tanto los objetos como los morfismos de C y Dmantener una correspondencia uno a uno entre sí. Dos categorías isomórficas comparten todas las propiedades que se definen únicamente en términos de teoría de categorías; a todos los efectos prácticos, son idénticos y difieren sólo en la notación de sus objetos y morfismos.
El isomorfismo de categorías es una condición muy fuerte y rara vez se satisface en la práctica. Mucho más importante es la noción de equivalencia de categorías ; en términos generales, para una equivalencia de categorías no requerimos queser igual a, pero solo naturalmente isomorfo para, y de la misma manera que ser naturalmente isomorfo a .
Propiedades
Como ocurre con cualquier noción de isomorfismo , tenemos las siguientes propiedades generales formalmente similares a una relación de equivalencia :
- cualquier categoría C es isomorfa a sí misma
- si C es isomorfo a D , entonces D es isomorfo a C
- si C es isomorfo a D y D es isomorfo a E , entonces C es isomorfo a E .
Un funtor F : C → D produce un isomorfismo de categorías si y solo si es biyectivo en objetos y en conjuntos de morfismos . [1] Este criterio puede ser conveniente, ya que evita la necesidad de construir el funtor inversa G . (Usamos "biyección" aquí de manera informal porque, si una categoría no es concreta , no tenemos esa noción).
Ejemplos de
- Considere un grupo finito G , un campo k y el álgebra de grupo kG . La categoría de k - representaciones de grupos lineales de G es isomorfa a la categoría de módulos de la izquierda sobre kG . El isomorfismo se puede describir como sigue: dado un ρ representación grupo: G → GL ( V ), donde V es un espacio vectorial sobre k , GL ( V ) es el grupo de su k -linear automorfismos , y ρ es un homomorfismo de grupos , convertimos V en un módulo kG izquierdo definiendo
para cada v en V y cada elemento Σ a g g en kG . Por el contrario, dado un módulo kG izquierdo M , entonces M es un espacio vectorial k , y la multiplicación con un elemento g de G produce un automorfismo lineal k de M (ya que g es invertible en kG ), que describe un homomorfismo de grupo G → GL ( M ). (Aún quedan varias cosas por comprobar: ambas asignaciones son functores, es decir, pueden aplicarse a mapas entre representaciones de grupos o módulos kG , y son inversas entre sí, tanto en objetos como en morfismos). Ver también Teoría de representación de grupos finitos # Representaciones, módulos y álgebra de convolución .
- Cada anillo puede verse como una categoría preaditiva con un solo objeto. La categoría de functor de todos los functores aditivos de esta categoría a la categoría de grupos abelianos es isomorfa a la categoría de módulos de la izquierda sobre el anillo.
- Otro isomorfismo de categorías surge en la teoría de las álgebras de Boole : la categoría de las álgebras de Boole es isomorfa a la categoría de los anillos de Boole . Dada un álgebra booleana B , convertimos B en un anillo booleano usando la diferencia simétrica como suma y la operación de encuentrocomo multiplicación. Por el contrario, dado un anillo booleano R , definimos la operación de unión por unb = a + b + ab , y la operación de encuentro como una multiplicación. Nuevamente, ambas asignaciones pueden extenderse a morfismos para producir functores, y estos functores son inversos entre sí.
- Si C es una categoría con un objeto inicial s, entonces la categoría rebanada ( s ↓ C ) es isomorfo a C . Dually , si t es un objeto terminal en C , la categoría funtor ( C ↓ t ) es isomorfo a C . De manera similar, si 1 es la categoría con un objeto y solo su morfismo de identidad (de hecho, 1 es la categoría terminal ), y C es cualquier categoría, entonces el functor categoría C 1 , con objetos functores c : 1 → C , seleccionando un objeto c ∈Ob ( C ), y las flechas transformaciones naturales f : c → d entre estos funtores, la selección de un morfismo f : c → d en C , es de nuevo isomorfo a C .
Ver también
Referencias
- ↑ a b Mac Lane, Saunders (1998). Categorías para el matemático que trabaja . Textos de Posgrado en Matemáticas. 5 (2ª ed.). Springer-Verlag. pag. 14. ISBN 0-387-98403-8. Señor 1712872 .