En matemáticas, la traza categórica es una generalización de la traza de una matriz.
Definición
La traza se define en el contexto de una categoría monoidal simétrica C , es decir, una categoría equipada con una noción adecuada de producto.. (La notación refleja que el producto es, en muchos casos, una especie de producto tensorial). Un objeto X en tal categoría C se llama dualizable si hay otro objetojugando el papel de un objeto dual de la X . En esta situación, el rastro de un morfismo se define como la composición de los siguientes morfismos: donde 1 es la unidad monoidal y los morfismos extremos son la coevaluación y evaluación, que forman parte de la definición de objetos dualizables. [1]
La misma definición se aplica, con gran efecto, también cuando C es una categoría ∞ monoidal simétrica.
Ejemplos de
Si C es la categoría de espacios vectoriales sobre un campo fijo k , los objetos dualizables son precisamente los espacios vectoriales de dimensión finita, y la traza en el sentido anterior es el morfismo
que es la multiplicación por la traza del endomorfismo f en el sentido habitual del álgebra lineal. En este sentido, la traza categórica generaliza la traza lineal-algebraica.
Si C es la categoría ∞ de complejos en cadena de módulos (sobre un anillo conmutativo fijo R ), los objetos dualizables V en C son precisamente los complejos perfectos . La traza en esta configuración captura, por ejemplo, la característica de Euler , que es la suma alterna de los rangos de sus términos:
Otras aplicaciones
Kondyrev y Prikhodko (2018) han utilizado métodos de trazas categóricas para probar una versión algebro-geométrica de la fórmula de punto fijo de Atiyah-Bott , una extensión de la fórmula de punto fijo de Lefschetz .
Referencias
- ^ Ponto y Shulman (2014 , Def. 2.2)
- ^ Ponto y Shulman (2014 , Ej. 3.3)
- Kondyrev, Grigory; Prikhodko, Artem (2018), "Prueba categórica de la fórmula holomórfica de Atiyah-Bott", J. Inst. Matemáticas. Jussieu : 1–25, arXiv : 1607.06345 , doi : 10.1017 / S1474748018000543
- Ponto, Kate; Shulman, Michael (2014), "Rastros en categorías monoidales simétricas", Expositiones Mathematicae , 32 (3): 248–273, arXiv : 1107.6032 , Bibcode : 2011arXiv1107.6032P