Objeto dual
En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas , un objeto dual es un análogo de un espacio vectorial dual del álgebra lineal para objetos en categorías monoidales arbitrarias . Es sólo una generalización parcial, basada en las propiedades categóricas de la dualidad para espacios vectoriales de dimensión finita . Un objeto que admite un dual se denomina objeto dualizable . En este formalismo, los espacios vectoriales de dimensión infinita no son dualizables, ya que el espacio vectorial dual V ∗ no satisface los axiomas. [1]A menudo, un objeto es dualizable solo cuando satisface alguna propiedad de finitud o compacidad . [2]
Una categoría en la que cada objeto tiene un dual se llama autónoma o rígida . La categoría de espacios vectoriales de dimensión finita con el producto tensorial estándar es rígida, mientras que la categoría de todos los espacios vectoriales no lo es.
Deje V un espacio vectorial de dimensión finita sobre algún campo K . La noción estándar de un espacio vectorial dual V ∗ tiene la siguiente propiedad: para cualquier K -espacios vectorial U y W hay una adjunción Hom K ( U ⊗ V , W ) = Hom K ( U , V ∗ ⊗ W ), y esto caracteriza a V ∗ hasta un isomorfismo único. Esta expresión tiene sentido en cualquier categoría con un reemplazo apropiado para el producto tensorial de espacios vectoriales. Para cualquier categoría monoidal ( C , ⊗) se puede intentar definir un dual de un objeto V como un objeto V ∗ ∈ C con un isomorfismo natural de bifunctores
Para una noción de dualidad bien educada, este mapa no solo debe ser natural en el sentido de la teoría de categorías, sino también respetar la estructura monoidal de alguna manera. [1] Por tanto, una definición real de un objeto dual es más complicada.
En una categoría monoidal cerrada C , es decir, una categoría monoidal con un functor Hom interno , un enfoque alternativo es simular la definición estándar de un espacio vectorial dual como un espacio de funcionales . Para un objeto V ∈ C, defina V ∗ como , donde 1 C es la identidad monoidal. En algunos casos, este objeto será un objeto dual de V en el sentido anterior, pero en general conduce a una teoría diferente. [3]
Considere un objeto en una categoría monoidal . El objeto se llama dual izquierdo de si existen dos morfismos
