Característica de Euler

Invariante topológico en matemáticas

Este artículo trata sobre el número característico de Euler. Para la clase de característica de Euler, consulte la clase de Euler . Para conocer el número de Euler en topología de tres distribuidores, consulte Espacio de fibra de Seifert .

En matemáticas , y más específicamente en topología algebraica y combinatoria poliédrica , la característica de Euler (o número de Euler , o característica de Euler-Poincaré ) es un invariante topológico , un número que describe la forma o estructura de un espacio topológico independientemente de su forma. doblado. Comúnmente se denota con ( letra minúscula griega chi ).${\displaystyle \chi }$

La característica de Euler se definió originalmente para los poliedros y se usó para probar varios teoremas sobre ellos, incluida la clasificación de los sólidos platónicos . Se afirmó para los sólidos platónicos en 1537 en un manuscrito inédito de Francesco Maurolico . ^[1] Leonhard Euler , para quien se nombra el concepto, lo introdujo para poliedros convexos de manera más general, pero no pudo probar rigurosamente que es una invariante. En las matemáticas modernas, la característica de Euler surge de la homología y, de manera más abstracta, del álgebra homológica .

Poliedros

Vértice, arista y cara de un cubo

La característica de Euler se definió clásicamente para las superficies de poliedros, según la fórmula${\displaystyle \chi }$

${\displaystyle \chi =V-E+F}$

donde V , E y F son respectivamente los números de vértices (esquinas), aristas y caras en el poliedro dado. La superficie de cualquier poliedro convexo tiene la característica de Euler

${\displaystyle V-E+F=2.}$

Esta ecuación, establecida por Leonhard Euler en 1758, ^[2] se conoce como fórmula del poliedro de Euler . ^[3] Corresponde a la característica de Euler de la esfera (es decir, χ = 2), y se aplica de manera idéntica a los poliedros esféricos . A continuación se muestra una ilustración de la fórmula en todos los poliedros platónicos.

Nombre	Imagen	Vértices V	Bordes E	Caras F	Característica de Euler: V - E + F
Tetraedro		4	6	4	2
Hexaedro o cubo		8	12	6	2
Octaedro		6	12	8	2
Dodecaedro		20	30	12	2
Icosaedro		12	30	20	2

Las superficies de los poliedros no convexos pueden tener varias características de Euler:

Nombre	Imagen	Vértices V	Bordes E	Caras F	Característica de Euler: V - E + F
Tetrahemihexaedro		6	12	7	1
Octahemioctaedro		12	24	12	0
Cubohemioctaedro		12	24	10	−2
Pequeño dodecaedro estrellado		12	30	12	−6
Gran dodecaedro estrellado		20	30	12	2

Para los poliedros regulares, Arthur Cayley derivó una forma modificada de la fórmula de Euler utilizando la densidad D , la densidad de la figura del vértice d _v y la densidad de la cara :${\displaystyle d_{f}}$

${\displaystyle d_{v}V-E+d_{f}F=2D.}$

Esta versión es válida tanto para poliedros convexos (donde las densidades son todas 1) como para poliedros no convexos de Kepler-Poinsot .

Todos los poliedros proyectivos tienen la característica de Euler 1, como el plano proyectivo real , mientras que las superficies de los poliedros toroidales tienen la característica de Euler 0, como el toro .

Gráficos planos

Ver también: Gráfico plano § Fórmula de Euler

La característica de Euler se puede definir para gráficos de planos conectados mediante la misma fórmula que para las superficies poliédricas, donde F es el número de caras en el gráfico, incluida la cara exterior.${\displaystyle V-E+F}$

La característica de Euler de cualquier gráfico G plano conectado es 2. Esto se prueba fácilmente por inducción sobre el número de caras determinadas por G, comenzando con un árbol como caso base. Para árboles y . Si G tiene componentes C (gráficos desconectados), el mismo argumento por inducción en F muestra eso . Uno de los pocos artículos sobre teoría de grafos de Cauchy también prueba este resultado.${\displaystyle E=V-1}$${\displaystyle F=1}$${\displaystyle V-E+F-C=1}$

A través de la proyección estereográfica, el plano se asigna a la 2-esfera, de modo que un gráfico conectado se asigna a una descomposición poligonal de la esfera, que tiene la característica de Euler 2. Este punto de vista está implícito en la prueba de Cauchy de la fórmula de Euler que se da a continuación.

Prueba de la fórmula de Euler

Primeros pasos de la demostración en el caso de un cubo

Hay muchas pruebas de la fórmula de Euler. Uno fue dado por Cauchy en 1811, como sigue. Se aplica a cualquier poliedro convexo, y más generalmente a cualquier poliedro cuyo límite es topológicamente equivalente a una esfera y cuyas caras son topológicamente equivalentes a discos.

Retire una cara de la superficie poliédrica. Al separar los bordes de la cara faltante entre sí, deforma todo el resto en un gráfico plano de puntos y curvas, de tal manera que el perímetro de la cara faltante se coloca externamente, rodeando el gráfico obtenido, como lo ilustra el primero de los tres gráficos para el caso especial del cubo. (La suposición de que la superficie poliédrica es homeomórfica con respecto a la esfera al principio es lo que hace que esto sea posible). Después de esta deformación, las caras regulares generalmente ya no son regulares. El número de vértices y aristas se ha mantenido igual, pero el número de caras se ha reducido en 1. Por lo tanto, probar la fórmula de Euler para el poliedro se reduce a probar V - E + F = 1 para este objeto plano deformado.

Si hay una cara con más de tres lados, dibuje una diagonal, es decir, una curva a través de la cara que conecta dos vértices que aún no están conectados. Esto añade un borde y una cara y no cambia el número de vértices, por lo que no cambia la cantidad V - E + F . (Aquí se necesita la suposición de que todas las caras son discos, para mostrar mediante el teorema de la curva de Jordan que esta operación aumenta el número de caras en uno). Continúe agregando aristas de esta manera hasta que todas las caras sean triangulares.

Aplique repetidamente cualquiera de las siguientes dos transformaciones, manteniendo el invariante de que el límite exterior es siempre un ciclo simple :

1. Quite un triángulo con un solo borde adyacente al exterior, como se ilustra en el segundo gráfico. Esto disminuye el número de aristas y caras por uno cada uno y no cambia el número de vértices, por lo que conserva V - E + F .
2. Quite un triángulo con dos bordes compartidos por el exterior de la red, como se ilustra en el tercer gráfico. Cada eliminación triángulo elimina un vértice, dos bordes y una cara, por lo que conserva V - E + F .

Estas transformaciones eventualmente reducen el gráfico plano a un solo triángulo. (Sin el invariante de ciclo simple, eliminar un triángulo podría desconectar los triángulos restantes, invalidando el resto del argumento. Una orden de eliminación válida es un ejemplo elemental de bombardeo ).

En este punto, el triángulo solitario tiene V = 3, E = 3 y F = 1, de modo que V - E + F = 1. Dado que cada uno de los dos pasos de transformación anteriores conservó esta cantidad, hemos mostrado V - E + F = 1 para el objeto plano deformado, lo que demuestra V - E + F = 2 para el poliedro. Esto prueba el teorema.

Para pruebas adicionales, ver Veinte Las pruebas de la fórmula de Euler por David Eppstein . ^[4] En Pruebas y refutaciones de Imre Lakatos se utilizan múltiples pruebas, incluidos sus defectos y limitaciones . ^[5]

Definición topológica

Las superficies poliédricas discutidas anteriormente son, en lenguaje moderno, complejos CW finitos bidimensionales . (Cuando solo se usan caras triangulares, son complejos simpliciales finitos bidimensionales .) En general, para cualquier complejo CW finito, la característica de Euler se puede definir como la suma alterna

${\displaystyle \chi =k_{0}-k_{1}+k_{2}-k_{3}+\cdots ,}$

donde k _n denota el número de celdas de dimensión n en el complejo.

De manera similar, para un complejo simplicial, la característica de Euler es igual a la suma alterna

${\displaystyle \chi =k_{0}-k_{1}+k_{2}-k_{3}+\cdots ,}$

donde k _n denota el número de n -simplejos en el complejo.

Más generalmente aún, para cualquier espacio topológico , podemos definir el n- ésimo número Betti b _n como el rango del n -ésimo grupo de homología singular . La característica de Euler puede definirse entonces como la suma alterna

${\displaystyle \chi =b_{0}-b_{1}+b_{2}-b_{3}+\cdots .}$

Esta cantidad está bien definida si los números de Betti son todos finitos y si son cero más allá de cierto índice  n ₀ . Para los complejos simpliciales, esta no es la misma definición que en el párrafo anterior, pero un cálculo de homología muestra que las dos definiciones darán el mismo valor para .${\displaystyle \chi }$

Propiedades

La característica de Euler se comporta bien con respecto a muchas operaciones básicas en espacios topológicos, como sigue.

Invarianza de homotopía

La homología es un invariante topológico y, además, un invariante de homotopía : dos espacios topológicos que son equivalentes de homotopía tienen grupos de homología isomórficos . De ello se deduce que la característica de Euler también es una invariante de homotopía.

Por ejemplo, cualquier espacio contráctil (es decir, una homotopía equivalente a un punto) tiene una homología trivial, lo que significa que el número 0 de Betti es 1 y los otros 0. Por lo tanto, su característica de Euler es 1. Este caso incluye el espacio euclidiano de cualquier dimensión. , así como la bola unitaria sólida en cualquier espacio euclidiano: el intervalo unidimensional, el disco bidimensional, la bola tridimensional, etc.${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Para otro ejemplo, cualquier poliedro convexo es homeomorfo a la bola tridimensional , por lo que su superficie es homeomorfa (por lo tanto, homotopía equivalente) a la esfera bidimensional , que tiene la característica de Euler 2. Esto explica por qué los poliedros convexos tienen la característica de Euler 2.

Principio de inclusión-exclusión

Si M y N son dos espacios topológicos cualesquiera, entonces la característica de Euler de su unión disjunta es la suma de sus características de Euler, ya que la homología es aditiva en la unión disjunta:

${\displaystyle \chi (M\sqcup N)=\chi (M)+\chi (N).}$

De manera más general, si M y N son subespacios de un espacio mayor X , entonces también lo son su unión e intersección. En algunos casos, la característica de Euler obedece a una versión del principio de inclusión-exclusión :

${\displaystyle \chi (M\cup N)=\chi (M)+\chi (N)-\chi (M\cap N).}$

Esto es cierto en los siguientes casos:

• si M y N son una pareja excisiva . En particular, si los interiores de M y N dentro de la unión todavía cubren la unión. ^[6]
• si X es un espacio localmente compacto y se utilizan características de Euler con soportes compactos , no se necesitan supuestos sobre M o N.
• si X es un espacio estratificado cuyos estratos son de dimensión par, el principio de inclusión-exclusión se cumple si M y N son uniones de estratos. Esto se aplica en particular si M y N son subvariedades de una variedad algebraica compleja . ^[7]

En general, el principio de inclusión-exclusión es falso. Un contraejemplo se da mediante la adopción de X a ser la línea verdadera , M un subconjunto que consta de un punto y N el complemento de M .

Suma conectada

Para dos colectores n cerrados conectados, se puede obtener un nuevo colector conectado a través de la operación de suma conectada . La característica de Euler está relacionada con la fórmula ^[8]${\displaystyle M,N}$${\displaystyle M\#N}$

${\displaystyle \chi (M\#N)=\chi (M)+\chi (N)-\chi (S^{n}).}$

Propiedad del producto

Además, la característica de Euler de cualquier espacio de producto M × N es

${\displaystyle \chi (M\times N)=\chi (M)\cdot \chi (N).}$

Estas propiedades de suma y multiplicación también se disfrutan mediante la cardinalidad de conjuntos . De esta manera, la característica de Euler puede verse como una generalización de cardinalidad; ver [1] .

Cubriendo espacios

Más información: fórmula de Riemann-Hurwitz

De manera similar, para un espacio de cobertura con k hojas , uno tiene${\displaystyle {\tilde {M}}\to M,}$

${\displaystyle \chi ({\tilde {M}})=k\cdot \chi (M).}$

De manera más general, para un espacio de cobertura ramificado , la característica de Euler de la cobertura se puede calcular a partir de lo anterior, con un factor de corrección para los puntos de ramificación, lo que produce la fórmula de Riemann-Hurwitz .

Propiedad de la fibra

La propiedad del producto se mantiene mucho más generalmente, para fibraciones con ciertas condiciones.

Si es una fibración con fibra F, con la base B conectada al camino , y la fibración es orientable sobre un campo K, entonces la característica de Euler con coeficientes en el campo K satisface la propiedad del producto: ^[9]${\displaystyle p\colon E\to B}$

${\displaystyle \chi (E)=\chi (F)\cdot \chi (B).}$

Esto incluye espacios de productos y espacios de cobertura como casos especiales, y puede probarse mediante la secuencia espectral de Serre sobre la homología de una fibración.

En el caso de los haces de fibras, esto también se puede entender en términos de un mapa de transferencia (tenga en cuenta que se trata de un levantamiento y va "en sentido contrario") cuya composición con el mapa de proyección es una multiplicación por la clase de Euler de la fibra: ^[10]${\displaystyle \tau \colon H_{*}(B)\to H_{*}(E)}$${\displaystyle p_{*}\colon H_{*}(E)\to H_{*}(B)}$

${\displaystyle p_{*}\circ \tau =\chi (F)\cdot 1.}$

Ejemplos

Superficies

La característica de Euler se puede calcular fácilmente para superficies generales encontrando una poligonización de la superficie (es decir, una descripción como un complejo CW ) y usando las definiciones anteriores.

Nombre	Imagen	Característica de Euler
Intervalo		1
Circulo		0
Disco		1
Esfera		2
Torus (Producto de dos círculos)		0
Doble toro		−2
Triple toro		−4
Plano proyectivo real		1
Cinta de Moebius		0
Botella de klein		0
Dos esferas (no conectadas) (Unión disjunta de dos esferas)		2 + 2 = 4
Tres esferas (no conectadas) (Unión disjunta de tres esferas)		2 + 2 + 2 = 6

Balón de fútbol

Es común construir balones de fútbol uniendo piezas pentagonales y hexagonales, con tres piezas juntas en cada vértice (ver, por ejemplo, el Adidas Telstar ). Si se usan pentágonos P y hexágonos H , entonces hay caras F = P + H , V = (5 P + 6 H ) / 3 vértices y E = (5 P + 6 H ) / 2 aristas. La característica de Euler es entonces

${\displaystyle V-E+F={\frac {5P+6H}{3}}-{\frac {5P+6H}{2}}+P+H={\frac {P}{6}}.}$

Como la esfera tiene la característica de Euler 2, se deduce que P = 12. Es decir, un balón de fútbol construido de esta manera siempre tiene 12 pentágonos. En principio, el número de hexágonos no está restringido. Este resultado es aplicable a fullerenos y poliedros de Goldberg .

Dimensiones arbitrarias

La esfera n- dimensional tiene grupos de homología singulares iguales a

${\displaystyle H_{k}(S^{n})={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0,n\\\{0\}&{\text{otherwise,}}\end{cases}}}$

por lo tanto, tiene el número Betti 1 en las dimensiones 0 y n , y todos los demás números Betti son 0. Su característica de Euler es entonces 1 + (−1) ⁿ , es decir, 0 o 2.

El espacio proyectivo real n- dimensional es el cociente de la n -esfera por el mapa de las antípodas . De ello se deduce que su característica de Euler es exactamente la mitad de la de la esfera correspondiente, ya sea 0 o 1.

El toro n- dimensional es el espacio producto de n círculos. Su característica de Euler es 0, por la propiedad del producto. De manera más general, cualquier colector compacto paralelizable , incluido cualquier grupo de Lie compacto , tiene la característica de Euler 0. ^[11]

La característica de Euler de cualquier variedad de dimensión impar cerrada también es 0. ^[12] El caso de los ejemplos orientables es un corolario de la dualidad de Poincaré . Esta propiedad se aplica de manera más general a cualquier espacio estratificado compacto cuyos estratos tengan dimensiones impares. También se aplica a colectores cerrados no orientables de dimensiones impares, a través de la doble tapa orientable dos a uno .

Relaciones con otros invariantes

La característica de Euler de una superficie orientable cerrada se puede calcular a partir de su género g (el número de toros en una descomposición suma conectada de la superficie; intuitivamente, el número de "asas") como

${\displaystyle \chi =2-2g.}$

La característica de Euler de una superficie cerrada no orientable se puede calcular a partir de su género k no orientable (el número de planos proyectivos reales en una descomposición sumatoria conectada de la superficie) como

${\displaystyle \chi =2-k.}$

Para variedades cerradas lisas, la característica de Euler coincide con el número de Euler , es decir, la clase de Euler de su paquete tangente evaluada en la clase fundamental de una variedad. La clase de Euler, a su vez, se relaciona con todas las demás clases características de paquetes de vectores .

Para variedades cerradas de Riemann , la característica de Euler también se puede encontrar integrando la curvatura; vea el teorema de Gauss-Bonnet para el caso bidimensional y el teorema generalizado de Gauss-Bonnet para el caso general.

Un análogo discreto del teorema de Gauss-Bonnet es el teorema de Descartes de que el "defecto total" de un poliedro , medido en círculos completos, es la característica de Euler del poliedro; ver defecto (geometría) .

El teorema de Hadwiger caracteriza la característica de Euler como la función de conjunto no necesariamente no negativa, invariante en traducción, finitamente aditiva y única ( hasta multiplicación escalar ) definida en uniones finitas de conjuntos convexos compactos en R ⁿ que es "homogénea de grado 0".

Generalizaciones

Para cada complejo de celdas combinatorias , se define la característica de Euler como el número de celdas 0, menos el número de celdas 1, más el número de 2 celdas, etc., si esta suma alterna es finita. En particular, la característica de Euler de un conjunto finito es simplemente su cardinalidad, y la característica de Euler de un gráfico es el número de vértices menos el número de aristas. ^[13]

De manera más general, se puede definir la característica de Euler de cualquier complejo de cadena como la suma alterna de los rangos de los grupos de homología del complejo de cadena, asumiendo que todos estos rangos son finitos. ^[14]

Una versión de la característica de Euler utilizada en geometría algebraica es la siguiente. Para cualquier gavilla coherente en un esquema X adecuado , se define su característica de Euler como${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle \chi ({\mathcal {F}})=\sum _{i}(-1)^{i}h^{i}(X,{\mathcal {F}}),}$

donde es la dimensión del grupo de cohomología de la i -ésima gavilla de . En este caso, las dimensiones son todas finitas según el teorema de finitud de Grothendieck . Este es un ejemplo de la característica de Euler de un complejo de cadena, donde el complejo de cadena es una resolución finita de poleas acíclicas.${\displaystyle h^{i}(X,{\mathcal {F}})}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Otra generalización del concepto de característica de Euler en variedades proviene de los orbifolds (ver característica de Euler de un orbifold ). Mientras que cada variedad tiene una característica de Euler entera, un orbifold puede tener una característica de Euler fraccionaria. Por ejemplo, el orbifold en forma de lágrima tiene la característica de Euler 1 + 1 / p , donde p es un número primo correspondiente al ángulo del cono 2 π  /  p .

El concepto de característica de Euler de un poset finito acotado es otra generalización, importante en combinatoria . Un poset está "acotado" si tiene elementos más pequeños y más grandes; llámelos 0 y 1. La característica de Euler de tal poset se define como el entero μ (0,1), donde μ es la función de Möbius en el álgebra de incidencia de ese poset .

Esto se puede generalizar aún más definiendo una característica de Euler con valor Q para ciertas categorías finitas , una noción compatible con las características de Euler de gráficos, orbifolds y posets mencionados anteriormente. En este contexto, la característica de Euler de un grupo finito o monoide G es 1 / | G |, y la característica de Euler de un grupoide finito es la suma de 1 / | G _i |, donde seleccionamos un grupo representativo G _i para cada componente conectado del grupoide. ^[15]

Ver también

• Cálculo de Euler
• Clase euler
• Lista de temas que llevan el nombre de Leonhard Euler
• Lista de poliedros uniformes

Referencias

Notas

1. Friedman, Michael (2018). Una historia del plegamiento en matemáticas: matemática de los márgenes . Birkhäuser. pag. 71. doi : 10.1007 / 978-3-319-72487-4 . ISBN 978-3-319-72486-7.
2. Euler, Leonhard (1 de enero de 1758). "Elementa doctrinae solidorum" . Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae : 109–140.
3. Richeson 2008
4. Eppstein, David. "Veinte pruebas de la fórmula de Euler: V-E + F = 2" . Consultado el 3 de junio de 2013 .
5. Imre Lakatos : Pruebas y refutaciones , Cambridge Technology Press, 1976
6. Edwin Spanier: Topología algebraica, Springer 1966, p. 205.
7. William Fulton: Introducción a las variedades tóricas, 1993, Princeton University Press, p. 141.
8. "Homología de suma conectada" . Consultado el 13 de julio de 2016 .
9. Spanier, Edwin Henry (1982), Topología algebraica , Springer, ISBN 978-0-387-94426-5, Aplicaciones de la secuencia espectral de homología, pág. 481
10. Gottlieb, Daniel Henry (1975), "Paquetes de fibra y la característica de Euler" (PDF) , Journal of Differential Geometry , 10 (1): 39-48
11. Milnor, John W. y Stasheff, James D .: Clases características, Princeton University Press, 1974
12. Richeson, 2008, p. 261
13. Olaf Post llama a esto una "fórmula conocida": Post, Olaf (2009), "Análisis espectral de gráficos métricos y espacios relacionados", Límites de los gráficos en la teoría de grupos y la informática , Lausana, Suiza: EPFL Press , págs. 109–140, arXiv : 0712.1507 , Bibcode : 2007arXiv0712.1507P.
14. nLab, " Característica de Euler "
15. Tom Leinster, " La característica de Euler de una categoría ", Documenta Mathematica , 13 (2008), págs. 21–49

Bibliografía

• Richeson, David S .; La gema de Euler: la fórmula del poliedro y el nacimiento de la topología . Prensa de la Universidad de Princeton 2008.

Lectura adicional

• Flegg, H. Graham; De la geometría a la topología , Dover 2001, p. 40.

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Característica de Euler" . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Fórmula poliédrica" . MathWorld .
• Matveev, SV (2001) [1994], "Característica de Euler" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Una versión animada de una prueba de la fórmula de Euler usando geometría esférica .